Номер 5.80, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.80. Один из корней уравнения:

1) $ax^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ равен -2;

2) $x^3 + ax^2 - 5x + 6 = 0$ равен 3;

3) $x^3 - x^2 + ax + 12 = 0$ равен -3;

2) $2x^3 + 11x^2 + 17x + a = 0$ равен -0,5;

Найдите значение $a$ и другие корни уравнения.

1) Поскольку $x = -2$ является корнем уравнения $ax^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$, мы можем подставить это значение в уравнение, чтобы найти $a$:

$a(-2)^3 - 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = 0$

$a(-8) - 2(4) + 10 + 6 = 0$

$-8a - 8 + 16 = 0$

$-8a + 8 = 0$

$-8a = -8$

$a = 1$

Теперь уравнение имеет вид: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Так как $x = -2$ — корень, многочлен $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ делится на $(x + 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен:

$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x + 2) = x^2 - 4x + 3$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_2 = 1$ и $x_3 = 3$.

Ответ: $a=1$, другие корни: $1$ и $3$.

2) Поскольку $x = 3$ является корнем уравнения $x^3 + ax^2 - 5x + 6 = 0$, подставим это значение в уравнение для нахождения $a$:

$(3)^3 + a(3)^2 - 5(3) + 6 = 0$

$27 + 9a - 15 + 6 = 0$

$9a + 18 = 0$

$9a = -18$

$a = -2$

Теперь уравнение имеет вид: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Так как $x = 3$ — корень, многочлен $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ делится на $(x - 3)$ без остатка. Выполним деление:

$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 3) = x^2 + x - 2$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_2 = 1$ и $x_3 = -2$.

Ответ: $a=-2$, другие корни: $1$ и $-2$.

3) Поскольку $x = -3$ является корнем уравнения $x^3 - x^2 + ax + 12 = 0$, подставим это значение в уравнение, чтобы найти $a$:

$(-3)^3 - (-3)^2 + a(-3) + 12 = 0$

$-27 - 9 - 3a + 12 = 0$

$-3a - 24 = 0$

$-3a = 24$

$a = -8$

Теперь уравнение имеет вид: $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$.

Так как $x = -3$ — корень, многочлен $x^3 - x^2 - 8x + 12$ делится на $(x + 3)$ без остатка. Выполним деление:

$(x^3 - x^2 - 8x + 12) : (x + 3) = x^2 - 4x + 4$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это полный квадрат: $(x - 2)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень кратности 2: $x_2 = 2$.

Ответ: $a=-8$, другой корень: $2$ (корень кратности 2).

2) Поскольку $x = -0.5$ является корнем уравнения $2x^3 + 11x^2 + 17x + a = 0$, подставим это значение в уравнение для нахождения $a$:

$2(-0.5)^3 + 11(-0.5)^2 + 17(-0.5) + a = 0$

$2(-\frac{1}{8}) + 11(\frac{1}{4}) - \frac{17}{2} + a = 0$

$-\frac{1}{4} + \frac{11}{4} - \frac{34}{4} + a = 0$

$\frac{-1 + 11 - 34}{4} + a = 0$

$\frac{-24}{4} + a = 0$

$-6 + a = 0$

$a = 6$

Теперь уравнение имеет вид: $2x^3 + 11x^2 + 17x + 6 = 0$.

Так как $x = -0.5$ — корень, многочлен $2x^3 + 11x^2 + 17x + 6$ делится на $(x + 0.5)$ или, что удобнее, на $(2x + 1)$ без остатка. Выполним деление:

$(2x^3 + 11x^2 + 17x + 6) : (2x + 1) = x^2 + 5x + 6$

Чтобы найти остальные корни, решим квадратное уравнение:

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_2 = -2$ и $x_3 = -3$.

Ответ: $a=6$, другие корни: $-2$ и $-3$.