Номер 5.81, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.81. Решите уравнения:

1) $x^3 + (1 - a^2) x + a = 0;$

2) $(a - x)^3 + (b - x)^3 = (a + b - 2x)^3.$

1) Дано уравнение $x^3 + (1 - a^2)x + a = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения левой части на множители:

$x^3 - a^2x + x + a = 0$

$x(x^2 - a^2) + (x + a) = 0$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$x(x - a)(x + a) + (x + a) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + a)$ за скобки:

$(x + a)(x(x - a) + 1) = 0$

$(x + a)(x^2 - ax + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1. $x + a = 0 \implies x = -a$.

2. $x^2 - ax + 1 = 0$.

Второе уравнение является квадратным относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$ для определения количества и вида корней:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^2 - 4$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискриминанта:

Случай 1: $D < 0$, то есть $a^2 - 4 < 0 \implies a^2 < 4 \implies |a| < 2$.

В этом случае квадратное уравнение $x^2 - ax + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень $x = -a$.

Случай 2: $D = 0$, то есть $a^2 - 4 = 0 \implies a^2 = 4 \implies |a| = 2$.

В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (кратности 2): $x = \frac{-(-a)}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$. Таким образом, при $|a| = 2$ исходное уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = -a$ и $x_2 = a/2$.

Случай 3: $D > 0$, то есть $a^2 - 4 > 0 \implies a^2 > 4 \implies |a| > 2$.

В этом случае квадратное уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}$.

Следовательно, при $|a| > 2$ исходное уравнение имеет три различных действительных корня: $x_1 = -a$, $x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - 4}}{2}$ и $x_3 = \frac{a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}$.

Ответ: если $|a| < 2$, то $x = -a$; если $|a| = 2$, то $x \in \{-a, a/2\}$; если $|a| > 2$, то $x \in \{-a, \frac{a \pm \sqrt{a^2-4}}{2}\}$.

2) Дано уравнение $(a-x)^3 + (b-x)^3 = (a+b-2x)^3$.

Заметим, что выражение в скобках в правой части является суммой выражений в скобках из левой части: $(a-x) + (b-x) = a+b-2x$.

Сделаем замену переменных. Пусть $U = a-x$ и $V = b-x$. Тогда $U+V = a+b-2x$.

Уравнение принимает вид:

$U^3 + V^3 = (U+V)^3$

Используем известное тождество $(U+V)^3 = U^3 + 3U^2V + 3UV^2 + V^3$. Подставим его в уравнение:

$U^3 + V^3 = U^3 + 3U^2V + 3UV^2 + V^3$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$0 = 3U^2V + 3UV^2$

Вынесем общий множитель $3UV$ за скобки:

$3UV(U+V) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следуют три возможности:

1. $U = 0$. Вернувшись к исходной переменной, получаем $a-x=0$, откуда $x=a$.

2. $V = 0$. Вернувшись к исходной переменной, получаем $b-x=0$, откуда $x=b$.

3. $U+V = 0$. Вернувшись к исходным переменным, получаем $(a-x) + (b-x) = 0$, то есть $a+b-2x=0$. Отсюда $2x = a+b$, и $x = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1=a, x_2=b, x_3=\frac{a+b}{2}$.