Номер 5.78, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.78. Составьте симметричное уравнение 4-го порядка с корнями,
равными $5, 3, \frac{1}{3}$.

Симметричное уравнение 4-го порядка имеет общий вид $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a \neq 0$. Важным свойством корней такого уравнения является то, что если $x_0$ — корень, то и $1/x_0$ также является корнем.

По условию, нам даны три корня: $x_1 = 5$, $x_2 = 3$ и $x_3 = 1/3$. Уравнение должно быть 4-го порядка, следовательно, у него должно быть четыре корня.

Так как уравнение симметричное, мы можем найти недостающий четвертый корень. Корень $x_2 = 3$ и корень $x_3 = 1/3$ являются взаимно обратными числами. Для корня $x_1 = 5$ взаимно обратным будет $1/5$. Таким образом, четвертый корень уравнения — $x_4 = 1/5$.

Итак, четыре корня искомого уравнения: $5$, $1/5$, $3$ и $1/3$.

Чтобы составить уравнение, можно перемножить множители вида $(x - x_i)$, где $x_i$ — корни уравнения. Для простоты вычислений сгруппируем множители с взаимно обратными корнями:

$(x - 5)(x - 1/5) = x^2 - 5x - \frac{1}{5}x + 1 = x^2 - (5 + \frac{1}{5})x + 1 = x^2 - \frac{26}{5}x + 1$

$(x - 3)(x - 1/3) = x^2 - 3x - \frac{1}{3}x + 1 = x^2 - (3 + \frac{1}{3})x + 1 = x^2 - \frac{10}{3}x + 1$

Теперь перемножим полученные квадратные трехчлены, чтобы получить искомый многочлен 4-й степени:

$(x^2 - \frac{26}{5}x + 1)(x^2 - \frac{10}{3}x + 1) = 0$

Раскрываем скобки:

$x^4 - \frac{10}{3}x^3 + x^2 - \frac{26}{5}x^3 + \frac{260}{15}x^2 - \frac{26}{5}x + x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$x^4 + (-\frac{10}{3} - \frac{26}{5})x^3 + (1 + \frac{260}{15} + 1)x^2 + (-\frac{26}{5} - \frac{10}{3})x + 1 = 0$

$x^4 - (\frac{50+78}{15})x^3 + (2 + \frac{52}{3})x^2 - (\frac{78+50}{15})x + 1 = 0$

$x^4 - \frac{128}{15}x^3 + (\frac{6+52}{3})x^2 - \frac{128}{15}x + 1 = 0$

$x^4 - \frac{128}{15}x^3 + \frac{58}{3}x^2 - \frac{128}{15}x + 1 = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (15 и 3), то есть на 15:

$15(x^4 - \frac{128}{15}x^3 + \frac{58}{3}x^2 - \frac{128}{15}x + 1) = 15 \cdot 0$

$15x^4 - 128x^3 + 5 \cdot 58x^2 - 128x + 15 = 0$

$15x^4 - 128x^3 + 290x^2 - 128x + 15 = 0$

Это и есть искомое симметричное уравнение 4-го порядка.

Ответ: $15x^4 - 128x^3 + 290x^2 - 128x + 15 = 0$.