Номер 5.73, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.73. 1) $x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0;$

2) $x^3 + 5x^2 + 15x + 27 = 0;$

3) $8x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = 0;$

4) $27x^3 - 15x^2 + 5x - 1 = 0.$

1) $x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена -8. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$2^3 + 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 8 = 8 + 3 \cdot 4 - 12 - 8 = 8 + 12 - 12 - 8 = 0$.

Поскольку $x = 2$ является корнем уравнения, многочлен $x^3 + 3x^2 - 6x - 8$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена столбиком или по схеме Горнера.

(x^3 + 3x^2 - 6x - 8) : (x - 2) = x^2 + 5x + 4

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 2)(x^2 + 5x + 4) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение равно 4. Корни легко находятся: $x_2 = -1$ и $x_3 = -4$.

Итак, мы получили три корня исходного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$, $x_3 = -4$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1, x_3 = -4$.

2) $x^3 + 5x^2 + 15x + 27 = 0$

Попробуем найти рациональный корень среди делителей свободного члена 27. Поскольку все коэффициенты положительны, положительных корней у уравнения быть не может. Проверим отрицательные делители: $\pm1, \pm3, \pm9, \pm27$.

Подставим $x = -3$ в уравнение:

$(-3)^3 + 5(-3)^2 + 15(-3) + 27 = -27 + 5 \cdot 9 - 45 + 27 = -27 + 45 - 45 + 27 = 0$.

$x = -3$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 5x^2 + 15x + 27$ на $(x + 3)$.

Можно также сгруппировать слагаемые:

$(x^3 + 27) + (5x^2 + 15x) = 0$

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и вынесем общий множитель:

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) + 5x(x + 3) = 0$

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9 + 5x) = 0$

$(x + 3)(x^2 + 2x + 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Либо $x + 3 = 0$, откуда $x_1 = -3$.

Либо $x^2 + 2x + 9 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -28$.

Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного уравнения нет. Однако есть два комплексных корня:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-28}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm i\sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{7}}{2} = -1 \pm i\sqrt{7}$.

Таким образом, уравнение имеет один действительный корень и два комплексных.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1 + i\sqrt{7}, x_3 = -1 - i\sqrt{7}$.

3) $8x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ - делитель свободного члена (-1), а $q$ - делитель старшего коэффициента (8). Возможные корни: $\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{8}$.

Проверим $x = \frac{1}{2}$:

$8\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 8\left(\frac{1}{8}\right) - 6\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} - 1 = 1 - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 1 = 0$.

$x = \frac{1}{2}$ является корнем. Следовательно, многочлен делится на $(x - \frac{1}{2})$ или, что то же самое, на $(2x - 1)$. Выполним деление:

$(8x^3 - 6x^2 + 3x - 1) : (2x - 1) = 4x^2 - x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(2x - 1)(4x^2 - x + 1) = 0$.

Первый корень: $2x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение: $4x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет. Найдем комплексные корни:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-15}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm i\sqrt{15}}{8}$.

Уравнение имеет один действительный корень и два комплексных.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{1 + i\sqrt{15}}{8}, x_3 = \frac{1 - i\sqrt{15}}{8}$.

4) $27x^3 - 15x^2 + 5x - 1 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{9}, \pm\frac{1}{27}$.

Проверим $x = \frac{1}{3}$:

$27\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 15\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = 27\left(\frac{1}{27}\right) - 15\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{5}{3} - 1 = 1 - \frac{15}{9} + \frac{5}{3} - 1 = 1 - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} - 1 = 0$.

$x = \frac{1}{3}$ является корнем. Следовательно, многочлен делится на $(x - \frac{1}{3})$ или на $(3x - 1)$. Выполним деление:

$(27x^3 - 15x^2 + 5x - 1) : (3x - 1) = 9x^2 - 2x + 1$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(3x - 1)(9x^2 - 2x + 1) = 0$.

Первый корень: $3x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$.

Решим второе уравнение: $9x^2 - 2x + 1 = 0$. Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 4 - 36 = -32$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет. Найдем комплексные корни:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-32}}{2 \cdot 9} = \frac{2 \pm i\sqrt{32}}{18} = \frac{2 \pm 4i\sqrt{2}}{18} = \frac{1 \pm 2i\sqrt{2}}{9}$.

Уравнение имеет один действительный корень и два комплексных.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = \frac{1 + 2i\sqrt{2}}{9}, x_3 = \frac{1 - 2i\sqrt{2}}{9}$.