Номер 5.67, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.67. Решите неравенство методом интервалов:

1) $(2x + 7)(3x - 4)(x + 5) > 0;$

2) $(x - 6)(0,5x + 4)(5x + 10) < 0;$

3) $\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - 4x + 3} > -3;$

4) $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} > 3.$

1) $(2x + 7)(3x - 4)(x + 5) > 0$
Для решения неравенства методом интервалов найдем нули выражения, стоящего в левой части.
$2x + 7 = 0 \implies x_1 = -3,5$
$3x - 4 = 0 \implies x_2 = 4/3$
$x + 5 = 0 \implies x_3 = -5$
Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знак выражения в каждом из получившихся интервалов. Например, при $x = 2$:
$(2 \cdot 2 + 7)(3 \cdot 2 - 4)(2 + 5) = 11 \cdot 2 \cdot 7 > 0$.
Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах чередуются.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-5; -3,5) \cup (4/3; +\infty)$.

2) $(x - 6)(0,5x + 4)(5x + 10) < 0$
Найдем нули каждого множителя:
$x - 6 = 0 \implies x_1 = 6$
$0,5x + 4 = 0 \implies 0,5x = -4 \implies x_2 = -8$
$5x + 10 = 0 \implies 5x = -10 \implies x_3 = -2$
Отметим точки на числовой оси в порядке возрастания: -8, -2, 6.

Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x = 7$:
$(7 - 6)(0,5 \cdot 7 + 4)(5 \cdot 7 + 10) = 1 \cdot 7,5 \cdot 45 > 0$.
Знаки чередуются. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-2; 6)$.

3) $\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - 4x + 3} > -3$
Перенесем -3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - 4x + 3} + 3 > 0$
$\frac{x^2 - 2x + 3 + 3(x^2 - 4x + 3)}{x^2 - 4x + 3} > 0$
$\frac{x^2 - 2x + 3 + 3x^2 - 12x + 9}{x^2 - 4x + 3} > 0$
$\frac{4x^2 - 14x + 12}{x^2 - 4x + 3} > 0$
Разделим числитель на 2:
$\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 4x + 3} > 0$
Найдем корни числителя и знаменателя.
Числитель: $2x^2 - 7x + 6 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = 1,5$.
Знаменатель: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.
Получаем неравенство: $\frac{2(x - 2)(x - 1,5)}{(x - 1)(x - 3)} > 0$.
Отметим корни на числовой оси (все точки выколотые): 1, 1,5, 2, 3.

Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=4$: $\frac{2(4 - 2)(4 - 1,5)}{(4 - 1)(4 - 3)} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2,5}{3 \cdot 1} > 0$.
Знаки чередуются. Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1,5; 2) \cup (3; +\infty)$.

4) $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} > 3$
Перенесем 3 в левую часть и приведем все к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:
$\frac{2(x + 1) - 1(x - 1) - 3(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$
$\frac{2x + 2 - x + 1 - 3(x^2 - 1)}{x^2 - 1} > 0$
$\frac{x + 3 - 3x^2 + 3}{x^2 - 1} > 0$
$\frac{-3x^2 + x + 6}{x^2 - 1} > 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{3x^2 - x - 6}{x^2 - 1} < 0$
Найдем корни числителя и знаменателя.
Числитель: $3x^2 - x - 6 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$.
Знаменатель: $x^2 - 1 = 0$. Корни $x_3 = -1$, $x_4 = 1$.
Отметим корни на числовой оси. Приближенные значения: $\frac{1 - \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 - 8,54}{6} \approx -1,26$; $\frac{1 + \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 + 8,54}{6} \approx 1,59$.
Порядок точек: $\frac{1 - \sqrt{73}}{6}$, -1, 1, $\frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Определим знак дроби $\frac{3x^2 - x - 6}{x^2 - 1}$ на крайнем правом интервале, взяв $x=2$: $\frac{3(2^2) - 2 - 6}{2^2 - 1} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} > 0$.
Знаки чередуются. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; -1) \cup (1; \frac{1 + \sqrt{73}}{6})$.