Номер 5.68, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 5.68, 5.69 решите уравнения.

5. 68.

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0;$

2) $6x^4 + 5x^3 - 38x^2 + 5x + 6 = 0;$

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0;$

4) $3x^3 - 7x^2 - 7x + 3 = 0;$

5) $5x^4 - 12x^3 + 11x^2 - 12x + 5 = 0;$

6) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 5x + 1 = 0.$

1) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$

Данное уравнение является симметричным (возвратным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны (1, 1, -4, 1, 1).
Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $1 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$.
$x^2 + x - 4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$
Введем новую переменную $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим это в сгруппированное уравнение:
$(y^2 - 2) + y - 4 = 0$
$y^2 + y - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Теперь вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 2$
$x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0 \implies x_1 = 1$.
Случай 2: $y = -3$
$x + \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $1, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) $6x^4 + 5x^3 - 38x^2 + 5x + 6 = 0$

Это также симметричное уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, делим уравнение на $x^2$:
$6x^2 + 5x - 38 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$
Группируем слагаемые:
$6(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) - 38 = 0$
Делаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$6(y^2 - 2) + 5y - 38 = 0$
$6y^2 - 12 + 5y - 38 = 0$
$6y^2 + 5y - 50 = 0$
Решаем квадратное уравнение для $y$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
$y = \frac{-5 \pm 35}{12}$.
$y_1 = \frac{-5 + 35}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$
$y_2 = \frac{-5 - 35}{12} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3}$
Возвращаемся к $x$:
Случай 1: $y = \frac{5}{2}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x = \frac{5 \pm 3}{4}$. Отсюда $x_1 = \frac{8}{4} = 2$, $x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Случай 2: $y = -\frac{10}{3}$
$x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3} \implies 3x^2 + 10x + 3 = 0$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$x = \frac{-10 \pm 8}{6}$. Отсюда $x_3 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_4 = \frac{-18}{6} = -3$.
Ответ: $2, \frac{1}{2}, -3, -\frac{1}{3}$.

3) $x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0$

Это симметричное уравнение третьей степени. Для таких уравнений $x = -1$ всегда является корнем.
Проверим: $(-1)^3 - 3(-1)^2 - 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0$.
Разделим многочлен $x^3 - 3x^2 - 3x + 1$ на $(x+1)$ с помощью деления столбиком или схемы Горнера. Результат деления: $x^2 - 4x + 1$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x+1)(x^2 - 4x + 1) = 0$.
Один корень $x_1 = -1$.
Остальные корни найдем из уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$x_2 = 2 + \sqrt{3}$, $x_3 = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $-1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$.

4) $3x^3 - 7x^2 - 7x + 3 = 0$

Это также симметричное уравнение третьей степени, значит $x = -1$ является корнем.
Проверка: $3(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 3 = -3 - 7 + 7 + 3 = 0$.
Разделим многочлен $3x^3 - 7x^2 - 7x + 3$ на $(x+1)$.
Получим $3x^2 - 10x + 3$.
Уравнение принимает вид: $(x+1)(3x^2 - 10x + 3) = 0$.
Один корень $x_1 = -1$.
Решаем $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$x = \frac{10 \pm 8}{6}$. Отсюда $x_2 = \frac{18}{6} = 3$, $x_3 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $-1, 3, \frac{1}{3}$.

5) $5x^4 - 12x^3 + 11x^2 - 12x + 5 = 0$

Это симметричное уравнение четвертой степени. Делим на $x^2$ ($x=0$ не корень):
$5x^2 - 12x + 11 - \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2} = 0$
$5(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 12(x + \frac{1}{x}) + 11 = 0$
Замена $y = x + \frac{1}{x}$, $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$5(y^2 - 2) - 12y + 11 = 0$
$5y^2 - 10 - 12y + 11 = 0$
$5y^2 - 12y + 1 = 0$
Решаем для $y$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 144 - 20 = 124$.
$y = \frac{12 \pm \sqrt{124}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{31}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{31}}{5}$.
Возвращаемся к $x$:
Случай 1: $y = \frac{6 + \sqrt{31}}{5}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{6 + \sqrt{31}}{5} \implies 5x^2 - (6 + \sqrt{31})x + 5 = 0$.
$D_x = (6 + \sqrt{31})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 36 + 12\sqrt{31} + 31 - 100 = 12\sqrt{31} - 33 > 0$.
$x_{1,2} = \frac{6 + \sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31} - 33}}{10}$.
Случай 2: $y = \frac{6 - \sqrt{31}}{5}$
$x + \frac{1}{x} = \frac{6 - \sqrt{31}}{5} \implies 5x^2 - (6 - \sqrt{31})x + 5 = 0$.
$D_x = (6 - \sqrt{31})^2 - 100 = 36 - 12\sqrt{31} + 31 - 100 = -33 - 12\sqrt{31} < 0$.
$x_{3,4} = \frac{6 - \sqrt{31} \pm \sqrt{-(33 + 12\sqrt{31})}}{10} = \frac{6 - \sqrt{31} \pm i\sqrt{33 + 12\sqrt{31}}}{10}$.
Ответ: $\frac{6 + \sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31} - 33}}{10}, \frac{6 - \sqrt{31} \pm i\sqrt{33 + 12\sqrt{31}}}{10}$.

6) $x^4 + 5x^3 + 4x^2 - 5x + 1 = 0$

Это уравнение не является симметричным в строгом смысле, но решается похожим методом. Коэффициенты при $x^3$ и $x$ противоположны по знаку. Такое уравнение называется кососимметрическим или обобщенным возвратным. $x=0$ не является корнем. Делим на $x^2$:
$x^2 + 5x + 4 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Группируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x - \frac{1}{x}) + 4 = 0$
Вводим замену $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
Подставляем в уравнение:
$(y^2 + 2) + 5y + 4 = 0$
$y^2 + 5y + 6 = 0$
Решаем это квадратное уравнение. По теореме Виета, $y_1 = -2$ и $y_2 = -3$.
Возвращаемся к $x$:
Случай 1: $y = -2$
$x - \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 2x - 1 = 0$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
Случай 2: $y = -3$
$x - \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x - 1 = 0$.
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}, \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.