Номер 5.64, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.64. При каких значениях $p$ и $q$ многочлен $6x^4 - 7x^3 + px^2 + 3x + 2$ делится на $x^2 - x + q$ без остатка?

Для того чтобы многочлен $P(x) = 6x^4 - 7x^3 + px^2 + 3x + 2$ делился на многочлен $D(x) = x^2 - x + q$ без остатка, должен существовать такой многочлен-частное $Q(x)$, что выполняется равенство $P(x) = D(x) \cdot Q(x)$.

Степень многочлена $P(x)$ равна 4, а степень делителя $D(x)$ равна 2. Следовательно, степень частного $Q(x)$ должна быть $4 - 2 = 2$. Запишем частное в общем виде: $Q(x) = ax^2 + bx + c$.

Тогда должно выполняться тождество:
$6x^4 - 7x^3 + px^2 + 3x + 2 = (x^2 - x + q)(ax^2 + bx + c)$

Раскроем скобки в правой части равенства и сгруппируем члены при одинаковых степенях $x$:
$(x^2 - x + q)(ax^2 + bx + c) = x^2(ax^2+bx+c) - x(ax^2+bx+c) + q(ax^2+bx+c)$
$= ax^4 + bx^3 + cx^2 - ax^3 - bx^2 - cx + aqx^2 + bqx + cq$
$= ax^4 + (b - a)x^3 + (c - b + aq)x^2 + (bq - c)x + cq$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях тождества, чтобы составить систему уравнений:
1) при $x^4: a = 6$
2) при $x^3: b - a = -7$
3) при $x^2: c - b + aq = p$
4) при $x: bq - c = 3$
5) при $x^0$ (свободный член): $cq = 2$

Теперь решим эту систему уравнений последовательно.
Из уравнения (1) сразу получаем $a = 6$.
Подставляем $a=6$ в уравнение (2): $b - 6 = -7$, откуда находим $b = -1$.

Далее, используем уравнения (4) и (5) для нахождения неизвестных $c$ и $q$.
Из уравнения (4), подставив $b=-1$, получаем: $-q - c = 3$, откуда выражаем $c = -q - 3$.
Подставим это выражение для $c$ в уравнение (5):
$(-q - 3)q = 2$
$-q^2 - 3q = 2$
$q^2 + 3q + 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $q$. Его корни можно найти, например, по теореме Виета: сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Отсюда корни уравнения: $q_1 = -1$ и $q_2 = -2$.
Рассмотрим каждый из этих двух возможных случаев.

Первый случай: $q = -1$.
Находим соответствующее значение $c$: $c = -q - 3 = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
Теперь, зная $a, b, c, q$, находим $p$ из уравнения (3):
$p = c - b + aq = -2 - (-1) + 6(-1) = -2 + 1 - 6 = -7$.
Таким образом, первая пара искомых значений: $p = -7$ и $q = -1$.

Второй случай: $q = -2$.
Находим соответствующее значение $c$: $c = -q - 3 = -(-2) - 3 = 2 - 3 = -1$.
Находим $p$ из уравнения (3):
$p = c - b + aq = -1 - (-1) + 6(-2) = -1 + 1 - 12 = -12$.
Таким образом, вторая пара искомых значений: $p = -12$ и $q = -2$.

Ответ: $p = -7, q = -1$ или $p = -12, q = -2$.