Номер 5.57, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.57. Числа $x_1, x_2, ..., x_n$ являются корнями многочлена $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n, a_0 \neq 0, a_n \neq 0$. Найдите корни многочленов

$g(x) = a_0x^n - a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} - ... + (-1)^na_n$,

$\varphi(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n$.

g(x)

Дан многочлен $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$, корнями которого являются числа $x_1, x_2, \dots, x_n$. Это означает, что $f(x_i) = 0$ для всех $i=1, \dots, n$.Требуется найти корни многочлена $g(x) = a_0x^n - a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} - \dots + (-1)^n a_n$.Рассмотрим, как связан многочлен $g(x)$ с многочленом $f(x)$. Для этого вычислим значение $f(-x)$:$f(-x) = a_0(-x)^n + a_1(-x)^{n-1} + a_2(-x)^{n-2} + \dots + a_{n-1}(-x) + a_n$$f(-x) = a_0(-1)^n x^n + a_1(-1)^{n-1} x^{n-1} + a_2(-1)^{n-2} x^{n-2} + \dots - a_{n-1}x + a_n$Вынесем общий множитель $(-1)^n$ за скобки:$f(-x) = (-1)^n (a_0x^n + \frac{a_1(-1)^{n-1}}{(-1)^n} x^{n-1} + \frac{a_2(-1)^{n-2}}{(-1)^n} x^{n-2} + \dots + \frac{a_n}{(-1)^n})$$f(-x) = (-1)^n (a_0x^n - a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} - \dots + (-1)^n a_n)$Выражение в скобках является в точности многочленом $g(x)$.Таким образом, мы получили соотношение: $g(x) = (-1)^n f(-x)$.Чтобы найти корни многочлена $g(x)$, нужно решить уравнение $g(x) = 0$:$(-1)^n f(-x) = 0$Это эквивалентно уравнению $f(-x) = 0$.Пусть $y$ — корень многочлена $g(x)$. Тогда $f(-y) = 0$.Но мы знаем, что корнями многочлена $f(z)$ являются числа $x_1, x_2, \dots, x_n$.Следовательно, $-y$ должно быть одним из этих чисел: $-y \in \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.Отсюда следует, что $y \in \{-x_1, -x_2, \dots, -x_n\}$.Таким образом, корнями многочлена $g(x)$ являются числа, противоположные корням многочлена $f(x)$.

Ответ: $-x_1, -x_2, \dots, -x_n$.

φ(x)

Дан многочлен $f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ с корнями $x_1, x_2, \dots, x_n$.Требуется найти корни многочлена $\varphi(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$.По условию $a_n \neq 0$, значит $f(0)=a_n \neq 0$, следовательно, ни один из корней $x_i$ не равен нулю.Также по условию $a_0 \neq 0$, значит $\varphi(0)=a_0 \neq 0$, следовательно, $x=0$ не является корнем многочлена $\varphi(x)$.Свяжем многочлен $\varphi(x)$ с многочленом $f(x)$. Рассмотрим выражение $x^n f(1/x)$:$x^n f(1/x) = x^n \left( a_0\left(\frac{1}{x}\right)^n + a_1\left(\frac{1}{x}\right)^{n-1} + a_2\left(\frac{1}{x}\right)^{n-2} + \dots + a_{n-1}\frac{1}{x} + a_n \right)$$x^n f(1/x) = x^n \left( \frac{a_0}{x^n} + \frac{a_1}{x^{n-1}} + \frac{a_2}{x^{n-2}} + \dots + \frac{a_{n-1}}{x} + a_n \right)$Раскрыв скобки, получим:$x^n f(1/x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n$Это выражение в точности совпадает с многочленом $\varphi(x)$.Таким образом, $\varphi(x) = x^n f(1/x)$.Чтобы найти корни многочлена $\varphi(x)$, решим уравнение $\varphi(x) = 0$:$x^n f(1/x) = 0$.Так как мы установили, что $x=0$ не является корнем, мы можем разделить обе части уравнения на $x^n \neq 0$:$f(1/x) = 0$.Пусть $y$ — корень многочлена $\varphi(x)$. Тогда $f(1/y) = 0$.Но мы знаем, что корнями многочлена $f(z)$ являются числа $x_1, x_2, \dots, x_n$.Следовательно, $1/y$ должно быть одним из этих чисел: $1/y \in \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.Отсюда следует, что $y \in \{1/x_1, 1/x_2, \dots, 1/x_n\}$.Таким образом, корнями многочлена $\varphi(x)$ являются числа, обратные корням многочлена $f(x)$.

Ответ: $1/x_1, 1/x_2, \dots, 1/x_n$.