Номер 5.54, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.54. При делении многочлена на двучлены $(x+1)$, $(x-2)$ и $(x-3)$ получаются остатки, равные 3, 1, -1 соответственно. Чему равен остаток от деления этого многочлена на многочлен $(x+1)(x-2)(x-3)$?

Пусть $P(x)$ — исходный многочлен. Согласно теореме Безу (следствию из теоремы о делении многочленов с остатком), остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

Исходя из условий задачи, мы можем записать следующие равенства:

1. При делении $P(x)$ на $(x + 1)$, или $(x - (-1))$, остаток равен 3. Следовательно, $P(-1) = 3$.

2. При делении $P(x)$ на $(x - 2)$ остаток равен 1. Следовательно, $P(2) = 1$.

3. При делении $P(x)$ на $(x - 3)$ остаток равен -1. Следовательно, $P(3) = -1$.

Теперь рассмотрим деление многочлена $P(x)$ на многочлен $D(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$. Делитель $D(x)$ является многочленом третьей степени. Согласно теореме о делении с остатком, остаток $R(x)$ должен иметь степень, меньшую степени делителя. Таким образом, степень $R(x)$ не может быть выше 2. Запишем остаток в общем виде как многочлен второй степени: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

Процесс деления можно представить уравнением:

$P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$,

где $Q(x)$ — частное от деления.

Теперь мы можем использовать известные значения $P(-1)$, $P(2)$ и $P(3)$ для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$. Подставим значения $x = -1$, $x = 2$ и $x = 3$ в это уравнение.

При $x = -1$:

$P(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2)(-1 - 3) \cdot Q(-1) + a(-1)^2 + b(-1) + c$

$3 = 0 \cdot Q(-1) + a - b + c$

$a - b + c = 3$

При $x = 2$:

$P(2) = (2 + 1)(2 - 2)(2 - 3) \cdot Q(2) + a(2)^2 + b(2) + c$

$1 = 0 \cdot Q(2) + 4a + 2b + c$

$4a + 2b + c = 1$

При $x = 3$:

$P(3) = (3 + 1)(3 - 2)(3 - 3) \cdot Q(3) + a(3)^2 + b(3) + c$

$-1 = 0 \cdot Q(3) + 9a + 3b + c$

$9a + 3b + c = -1$

Мы получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}a - b + c = 3 & \text{(1)} \\4a + 2b + c = 1 & \text{(2)} \\9a + 3b + c = -1 & \text{(3)}\end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(4a + 2b + c) - (a - b + c) = 1 - 3 \implies 3a + 3b = -2$ (4)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):

$(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = -1 - 1 \implies 5a + b = -2$ (5)

Из уравнения (5) выразим $b$:

$b = -2 - 5a$

Подставим это выражение для $b$ в уравнение (4):

$3a + 3(-2 - 5a) = -2$

$3a - 6 - 15a = -2$

$-12a = 4$

$a = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $a$ в выражение для $b$:

$b = -2 - 5(-\frac{1}{3}) = -2 + \frac{5}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}$

Наконец, найдем $c$ из уравнения (1):

$c = 3 - a + b = 3 - (-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3}) = 3 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 3$

Таким образом, коэффициенты многочлена-остатка равны $a = -\frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = 3$.

Искомый остаток $R(x)$ имеет вид:

$R(x) = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x + 3$

Ответ: Остаток от деления равен $-\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}x + 3$.