Номер 5.60, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.60. Если $c_1, c_2, \dots, c_n, c_{n+1}$ – попарно различные действительные числа, то существует ли многочлен $n$-й степени, корни которого равны $c_1, c_2, \dots, c_n$, а его значение при $x = c_{n+1}$ было бы равно 1?

Для ответа на этот вопрос построим искомый многочлен $P(x)$ в явном виде и проверим, удовлетворяет ли он всем условиям.

По условию, многочлен $P(x)$ должен иметь степень $n$, а его корнями должны быть числа $c_1, c_2, \dots, c_n$. Любой многочлен с таким набором корней можно представить в виде произведения линейных множителей:$P(x) = A \cdot (x - c_1)(x - c_2)\dots(x - c_n) = A \prod_{i=1}^{n} (x - c_i)$где $A$ — это некоторая ненулевая константа. Степень такого многочлена равна $n$. Наша задача — найти подходящее значение для $A$.

Второе условие задачи гласит, что значение многочлена в точке $x = c_{n+1}$ должно быть равно 1. Формально это записывается как $P(c_{n+1}) = 1$.

Подставим $x = c_{n+1}$ в общую формулу для $P(x)$:$P(c_{n+1}) = A \prod_{i=1}^{n} (c_{n+1} - c_i)$

Приравнивая это выражение к 1, получаем уравнение для определения константы $A$:$A \prod_{i=1}^{n} (c_{n+1} - c_i) = 1$

Из этого уравнения мы можем выразить $A$:$A = \frac{1}{\prod_{i=1}^{n} (c_{n+1} - c_i)}$

Теперь необходимо убедиться, что такое значение $A$ существует и корректно определено. По условию, все числа $c_1, c_2, \dots, c_n, c_{n+1}$ являются попарно различными. Это означает, что $c_{n+1} \neq c_i$ для любого $i$ из набора $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, каждый множитель $(c_{n+1} - c_i)$ в знаменателе дроби отличен от нуля. Произведение ненулевых чисел также не равно нулю, поэтому знаменатель в целом не равен нулю.

Это означает, что для $A$ существует единственное, корректно определенное действительное значение. Так как числитель равен 1, а знаменатель не равен нулю, то и сам коэффициент $A$ не равен нулю, что подтверждает, что степень многочлена $P(x)$ действительно равна $n$.

Таким образом, мы не только доказали существование такого многочлена, но и нашли его явный вид:$P(x) = \frac{\prod_{i=1}^{n} (x - c_i)}{\prod_{i=1}^{n} (c_{n+1} - c_i)}$Этот многочлен удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Да, существует.