Номер 5.55, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.55. Найдите общие корни уравнений $x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 1 = 0$ и $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 5x + 2 = 0$.

Для нахождения общих корней двух уравнений найдем корни одного из них (уравнения меньшей степени) и проверим, являются ли они корнями второго уравнения.

Обозначим многочлены:
$P(x) = x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x - 1$
$Q(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 5x + 2$

Рассмотрим второе уравнение $Q(x) = 0$. Разложим многочлен $Q(x)$ на множители. Заметим, что его коэффициенты близки к биномиальным коэффициентам для четвертой степени:$Q(x) = (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) + x + 1 = (x+1)^4 + (x+1)$.

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:$Q(x) = (x+1)((x+1)^3 + 1)$.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для второго множителя, где $a = x+1$ и $b=1$:$(x+1)^3 + 1 = ((x+1)+1)((x+1)^2 - (x+1) \cdot 1 + 1^2) = (x+2)(x^2+2x+1-x-1+1) = (x+2)(x^2+x+1)$.

Таким образом, разложение многочлена $Q(x)$ на множители имеет вид:$Q(x) = (x+1)(x+2)(x^2+x+1)$.

Корнями уравнения $Q(x)=0$ являются корни уравнений $x+1=0$, $x+2=0$ и $x^2+x+1=0$.

Теперь последовательно проверим, какие из этих корней являются корнями первого уравнения $P(x)=0$.

1. Проверка корня $x=-1$ (из $x+1=0$)
Подставим $x=-1$ в $P(x)$:$P(-1) = (-1)^6 + 2(-1)^5 + 3(-1)^4 + 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 + 3 - 2 + 3 - 2 - 1 = (1+3+3) - (2+2+2+1) = 7 - 7 = 0$.
Следовательно, $x=-1$ является общим корнем.

2. Проверка корня $x=-2$ (из $x+2=0$)
Подставим $x=-2$ в $P(x)$:$P(-2) = (-2)^6 + 2(-2)^5 + 3(-2)^4 + 2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2(-2) - 1$
$= 64 + 2(-32) + 3(16) + 2(-8) + 3(4) - 4 - 1$
$= 64 - 64 + 48 - 16 + 12 - 4 - 1 = 39$.
Поскольку $P(-2) = 39 \neq 0$, $x=-2$ не является общим корнем.

3. Проверка корней уравнения $x^2+x+1=0$
Пусть $x_0$ — любой корень этого уравнения. Тогда для него выполняется равенство $x_0^2+x_0+1=0$. Чтобы проверить, является ли $x_0$ корнем $P(x)=0$, разделим многочлен $P(x)$ на $x^2+x+1$ с остатком. Выполнив деление столбиком или сгруппировав члены, можно получить следующее тождество:$P(x) = (x^4+x^3+x^2+2)(x^2+x+1) - 3$.Подставим корень $x_0$ в это выражение:$P(x_0) = (x_0^4+x_0^3+x_0^2+2)(x_0^2+x_0+1) - 3 = (x_0^4+x_0^3+x_0^2+2) \cdot 0 - 3 = -3$.
Поскольку $P(x_0) = -3 \neq 0$, корни уравнения $x^2+x+1=0$ не являются корнями уравнения $P(x)=0$.

Мы проверили все корни уравнения $Q(x)=0$. Единственным корнем, который также удовлетворяет уравнению $P(x)=0$, является $x=-1$.

Ответ: $x=-1$.