Номер 5.51, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.51. Покажите, что значение суммы $f(a+\sqrt{b})+f(a-\sqrt{b})$ равно целому числу, если $f(x)$ – многочлен с целыми коэффициентами. Здесь $a$ и $b$ ($b > 0$) – любые целые числа.

5.51. Пусть $f(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами $c_k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что его можно представить в виде суммы:

$f(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0 = \sum_{k=0}^{n} c_k x^k$.

По условию задачи $a$ и $b$ ($b > 0$) — целые числа. Нам нужно доказать, что сумма $S = f(a + \sqrt{b}) + f(a - \sqrt{b})$ является целым числом.

Подставим $x = a + \sqrt{b}$ и $x = a - \sqrt{b}$ в выражение для многочлена:

$S = \left(\sum_{k=0}^{n} c_k (a + \sqrt{b})^k\right) + \left(\sum_{k=0}^{n} c_k (a - \sqrt{b})^k\right)$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами $c_k$:

$S = \sum_{k=0}^{n} c_k \left[ (a + \sqrt{b})^k + (a - \sqrt{b})^k \right]$.

Поскольку все коэффициенты $c_k$ по условию являются целыми числами, то вся сумма $S$ будет целой, если для каждого целого $k \ge 0$ выражение $T_k = (a + \sqrt{b})^k + (a - \sqrt{b})^k$ является целым числом.

Раскроем степени с помощью формулы бинома Ньютона:

$(a + \sqrt{b})^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} (\sqrt{b})^j$

$(a - \sqrt{b})^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} (-\sqrt{b})^j = \sum_{j=0}^{k} (-1)^j \binom{k}{j} a^{k-j} (\sqrt{b})^j$

Сложим эти два выражения:

$T_k = (a+\sqrt{b})^k + (a-\sqrt{b})^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} (\sqrt{b})^j (1 + (-1)^j)$.

Рассмотрим множитель $(1 + (-1)^j)$. Если $j$ нечетно, то $1+(-1)^j = 0$, и соответствующее слагаемое равно нулю. Если $j$ четно, то $1+(-1)^j = 2$. Таким образом, в сумме остаются только слагаемые с четными индексами $j$. Эти слагаемые как раз не содержат иррациональности, так как $\sqrt{b}$ возводится в четную степень.

Пусть $j = 2m$, где $m$ — целое число от $0$ до $\lfloor k/2 \rfloor$. Тогда $(\sqrt{b})^j = (\sqrt{b})^{2m} = ((\sqrt{b})^2)^m = b^m$. Выражение для $T_k$ принимает вид:

$T_k = 2 \sum_{m=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} \binom{k}{2m} a^{k-2m} b^m$.

В этом выражении все компоненты являются целыми числами: $2$, биномиальный коэффициент $\binom{k}{2m}$, а также $a$, $b$ и их степени (так как $a, b \in \mathbb{Z}$). Сумма и произведение целых чисел также являются целыми числами. Следовательно, $T_k$ — целое число для любого $k \ge 0$.

Возвращаясь к исходной сумме $S = \sum_{k=0}^{n} c_k T_k$, мы видим, что она представляет собой сумму произведений целых чисел ($c_k$ — целые по условию, $T_k$ — целые, как доказано выше). Такая сумма всегда является целым числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Значение суммы $f(a+\sqrt{b})+f(a-\sqrt{b})$ является целым числом. Это следует из того, что при разложении каждого слагаемого $(a \pm \sqrt{b})^k$ по формуле бинома Ньютона и последующем сложении, все члены, содержащие $\sqrt{b}$ в нечетной степени (потенциально иррациональные части), сокращаются. Оставшиеся члены содержат только целые степени целых чисел $a$ и $b$ с целыми коэффициентами, что в итоге дает целое число.