Номер 5.49, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.49. Найдите целые корни многочлена $x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24$.

Для нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами $P(x) = x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена многочлена.

Свободный член данного многочлена равен $-24$.

Найдем все целые делители числа $-24$. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$. Эти числа являются кандидатами в целые корни нашего многочлена.

Теперь будем последовательно подставлять эти значения в многочлен, чтобы проверить, обращают ли они его в ноль.

Пусть $P(x) = x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24$.

• $P(1) = 1^4 - 1^3 - 2(1)^2 - 4(1) - 24 = 1 - 1 - 2 - 4 - 24 = -30 \neq 0$
• $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 2(-1)^2 - 4(-1) - 24 = 1 + 1 - 2 + 4 - 24 = -20 \neq 0$
• $P(2) = 2^4 - 2^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 24 = 16 - 8 - 8 - 8 - 24 = -32 \neq 0$
• $P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 2(-2)^2 - 4(-2) - 24 = 16 - (-8) - 2(4) + 8 - 24 = 16 + 8 - 8 + 8 - 24 = 0$.
  Таким образом, $x_1 = -2$ является корнем многочлена.
• $P(3) = 3^4 - 3^3 - 2(3)^2 - 4(3) - 24 = 81 - 27 - 18 - 12 - 24 = 81 - 81 = 0$.
  Таким образом, $x_2 = 3$ является корнем многочлена.

Мы нашли два целых корня: $-2$ и $3$. Это означает, что многочлен делится на $(x - (-2)) = (x+2)$ и на $(x-3)$. Следовательно, он делится и на их произведение: $(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$.

Чтобы найти остальные корни, разделим исходный многочлен на $x^2 - x - 6$. Это можно сделать, например, делением в столбик:

$(x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24) : (x^2 - x - 6) = x^2 + 4$

Таким образом, многочлен можно разложить на множители:

$x^4 - x^3 - 2x^2 - 4x - 24 = (x^2 - x - 6)(x^2 + 4) = (x+2)(x-3)(x^2+4)$

Теперь приравняем к нулю третий множитель, чтобы найти оставшиеся корни:

$x^2 + 4 = 0$

$x^2 = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней, а значит, и целых корней тоже. Его корни являются комплексными числами ($x = \pm 2i$).

Следовательно, единственными целыми корнями исходного многочлена являются найденные нами ранее $-2$ и $3$.

Ответ: $-2, 3$.