Номер 5.56, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.56. Числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ являются корнями уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Докажите справедливость формулы Виета:

$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \\x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}, \\x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}.\end{cases}$

Для доказательства формул Виета для кубического уравнения воспользуемся теоремой о разложении многочлена на множители. Если числа $x_1$, $x_2$ и $x_3$ являются корнями уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, то многочлен в левой части уравнения можно представить в виде произведения:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

Коэффициент $a$ в правой части необходим, чтобы старшие коэффициенты (при $x^3$) в обеих частях равенства совпадали.

Теперь раскроем скобки в правой части этого тождества. Сначала перемножим две последние скобки:

$(x - x_2)(x - x_3) = x^2 - x_3x - x_2x + x_2x_3 = x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3$

Теперь умножим полученное выражение на $(x - x_1)$:

$(x - x_1)(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3) = x(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3) - x_1(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3)$

$= x^3 - (x_2 + x_3)x^2 + x_2x_3x - x_1x^2 + x_1(x_2 + x_3)x - x_1x_2x_3$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:

$= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$

Наконец, умножим всё выражение на коэффициент $a$:

$a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$

Таким образом, мы получили тождество:

$ax^3 + bx^2 + cx + d \equiv ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$

Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной $x$. Приравняем их.

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

Сравним коэффициенты при $x^2$:

$b = -a(x_1 + x_2 + x_3)$

Поскольку $a \neq 0$ (иначе уравнение не было бы кубическим), мы можем разделить обе части равенства на $-a$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

Эта формула связывает сумму корней с коэффициентами $a$ и $b$.

Ответ: Первое соотношение доказано.

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$

Сравним коэффициенты при $x$:

$c = a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$

Разделим обе части на $a \neq 0$:

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$

Эта формула связывает сумму попарных произведений корней с коэффициентами $a$ и $c$.

Ответ: Второе соотношение доказано.

$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Сравним свободные члены (коэффициенты при $x^0$):

$d = -ax_1x_2x_3$

Разделим обе части на $-a \neq 0$:

$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Эта формула связывает произведение корней с коэффициентами $a$ и $d$.

Ответ: Третье соотношение доказано.