Номер 5.61, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.61. Докажите, что при каждом неотрицательном значении $m, n, k$ многочлен $x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3k+2}$ делится на квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ без остатка.

Для того чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3k+2}$ делится на квадратный трехчлен $Q(x) = x^2 + x + 1$ без остатка, достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также и корнями многочлена $P(x)$.

Найдем корни многочлена $Q(x) = x^2 + x + 1$. Для этого решим уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.
Это уравнение является частью разложения разности кубов: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Следовательно, корни уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ являются также корнями уравнения $x^3 - 1 = 0$, но не равны 1. Обозначим любой корень уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ через $\omega$.

Для корня $\omega$ выполняются следующие ключевые свойства:
1. $\omega^2 + \omega + 1 = 0$, так как $\omega$ является корнем этого уравнения.
2. $\omega^3 = 1$, так как $\omega$ является корнем уравнения $x^3 - 1 = 0$.

Теперь подставим корень $\omega$ в многочлен $P(x)$ и вычислим его значение, учитывая, что по условию $m, n, k$ — неотрицательные целые числа:
$P(\omega) = \omega^{3m} + \omega^{3n+1} + \omega^{3k+2}$

Используя свойство $\omega^3 = 1$, упростим каждое слагаемое:
* Первое слагаемое: $\omega^{3m} = (\omega^3)^m = 1^m = 1$.
* Второе слагаемое: $\omega^{3n+1} = \omega^{3n} \cdot \omega^1 = (\omega^3)^n \cdot \omega = 1^n \cdot \omega = \omega$.
* Третье слагаемое: $\omega^{3k+2} = \omega^{3k} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^k \cdot \omega^2 = 1^k \cdot \omega^2 = \omega^2$.

Подставим полученные выражения обратно в $P(\omega)$:
$P(\omega) = 1 + \omega + \omega^2$.

Из свойства (1) мы знаем, что $\omega^2 + \omega + 1 = 0$. Следовательно, $P(\omega) = 0$.

Поскольку любой корень $\omega$ многочлена $Q(x) = x^2 + x + 1$ является также и корнем многочлена $P(x)$, то многочлен $P(x)$ делится на многочлен $Q(x)$ без остатка при любых неотрицательных целых значениях $m, n, k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как все корни делителя $x^2+x+1$ являются корнями делимого многочлена $x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3k+2}$.