Номер 5.58, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.58. Покажите, что число $f(m)$ при каждом целом $m$ делится на разность $c - m$, если $x = c$ - целый корень многочлена $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n$ с целыми коэффициентами.

По условию, нам дан многочлен $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$, где все коэффициенты $a_i$ являются целыми числами. Также известно, что $c$ — это целый корень данного многочлена, а $m$ — произвольное целое число. Требуется доказать, что значение многочлена в точке $m$, то есть $f(m)$, делится на разность $c - m$.

По определению корня многочлена, если $c$ является корнем $f(x)$, то $f(c) = 0$.Запишем это равенство:$f(c) = c^n + a_1c^{n-1} + \dots + a_{n-1}c + a_n = 0$.

Теперь рассмотрим значение $f(m)$:$f(m) = m^n + a_1m^{n-1} + \dots + a_{n-1}m + a_n$.

Вычтем из $f(m)$ число $f(c)$. Поскольку $f(c) = 0$, это не изменит значения выражения:$f(m) = f(m) - f(c) = (m^n + a_1m^{n-1} + \dots + a_n) - (c^n + a_1c^{n-1} + \dots + a_n)$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:$f(m) = (m^n - c^n) + a_1(m^{n-1} - c^{n-1}) + \dots + a_{n-1}(m - c) + (a_n - a_n)$.$f(m) = (m^n - c^n) + a_1(m^{n-1} - c^{n-1}) + \dots + a_{n-1}(m - c)$.

Для любого натурального числа $k$, разность степеней $x^k - y^k$ может быть разложена на множители:$x^k - y^k = (x - y)(x^{k-1} + x^{k-2}y + \dots + xy^{k-2} + y^{k-1})$.Если $x$ и $y$ — целые числа, то второй множитель в этом разложении, представляющий собой сумму произведений целых чисел, также является целым числом. Следовательно, для любых целых $x$ и $y$, разность $x^k - y^k$ делится нацело на $x-y$.

Применим это свойство к каждому слагаемому в выражении для $f(m)$.Так как $m$ и $c$ — целые числа, то каждая разность вида $m^k - c^k$ делится на $m-c$.Поскольку все коэффициенты $a_i$ — целые, то и произведения $a_i(m^k - c^k)$ также делятся на $m-c$.Таким образом, $f(m)$ представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых делится на $m-c$. Следовательно, и вся сумма $f(m)$ делится на $m-c$.

Если число $f(m)$ делится на $m-c$, то оно также делится и на $c-m$, поскольку $c-m = -(m-c)$. То есть, если $f(m) = K \cdot (m-c)$ для некоторого целого $K$, то $f(m) = (-K) \cdot (c-m)$, где $-K$ также является целым числом.

Отметим, что данный результат является следствием теоремы Безу для многочленов с целыми коэффициентами. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x-c$ равен $f(c)$. Поскольку $c$ — корень, $f(c)=0$, и, следовательно, многочлен $f(x)$ делится на $x-c$ без остатка. Так как коэффициенты $f(x)$ целые, а старший коэффициент двучлена $x-c$ равен 1, то частное от деления, многочлен $Q(x)$, также будет иметь целые коэффициенты. Таким образом, мы можем записать $f(x) = (x-c)Q(x)$, где $Q(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Подставив в это равенство $x=m$, получаем $f(m) = (m-c)Q(m)$. Так как $m$ — целое число, то $Q(m)$ также будет целым числом. Отсюда напрямую следует, что $f(m)$ делится на $m-c$, а значит, и на $c-m$.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $f(m)$ можно представить в виде произведения $f(m) = (c-m) \cdot K$, где $K$ — целое число, что по определению означает, что $f(m)$ делится на $c-m$.