Номер 5.53, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.53. При делении многочлена на двучлен $x - 1$ остаток равен 3, а при делении на двучлен $x - 2$ остаток равен 4. Чему равен остаток от деления этого многочлена на многочлен $(x - 1)(x - 2)$?

Пусть $P(x)$ — это исходный многочлен. Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу.

1. Применение теоремы Безу к условиям задачи

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

Из первого условия, при делении $P(x)$ на $x - 1$ остаток равен 3. Согласно теореме Безу, это означает, что:

$P(1) = 3$

Из второго условия, при делении $P(x)$ на $x - 2$ остаток равен 4. Это означает, что:

$P(2) = 4$

2. Определение вида искомого остатка

Мы ищем остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $(x - 1)(x - 2)$. Степень этого многочлена-делителя равна 2, так как $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$.

По теореме о делении с остатком, степень остатка всегда строго меньше степени делителя. Следовательно, остаток $R(x)$ должен быть многочленом степени не выше 1. Запишем его в общем виде:

$R(x) = ax + b$

где $a$ и $b$ — неизвестные коэффициенты, которые нам нужно найти.

3. Составление уравнения деления

Деление многочлена $P(x)$ на $(x - 1)(x - 2)$ с остатком можно записать в виде равенства:

$P(x) = (x - 1)(x - 2) \cdot Q(x) + R(x)$

где $Q(x)$ — это частное от деления. Подставив вид остатка, получаем:

$P(x) = (x - 1)(x - 2) \cdot Q(x) + ax + b$

4. Нахождение коэффициентов остатка

Чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$, воспользуемся известными нам значениями $P(1)$ и $P(2)$. Подставим в наше уравнение поочередно $x = 1$ и $x = 2$.

При $x = 1$:

$P(1) = (1 - 1)(1 - 2) \cdot Q(1) + a \cdot 1 + b$

$P(1) = 0 \cdot Q(1) + a + b$

$P(1) = a + b$

Так как мы знаем, что $P(1) = 3$, получаем первое уравнение:

$a + b = 3$

При $x = 2$:

$P(2) = (2 - 1)(2 - 2) \cdot Q(2) + a \cdot 2 + b$

$P(2) = 1 \cdot 0 \cdot Q(2) + 2a + b$

$P(2) = 2a + b$

Так как мы знаем, что $P(2) = 4$, получаем второе уравнение:

$2a + b = 4$

5. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 4 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a$:

$(2a + b) - (a + b) = 4 - 3$

$a = 1$

Теперь подставим найденное значение $a = 1$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$1 + b = 3$

$b = 3 - 1$

$b = 2$

6. Формирование ответа

Мы нашли коэффициенты остатка: $a = 1$ и $b = 2$. Подставляем их в выражение для остатка $R(x) = ax + b$:

$R(x) = 1 \cdot x + 2 = x + 2$

Следовательно, остаток от деления исходного многочлена на $(x - 1)(x - 2)$ равен $x + 2$.

Ответ: $x + 2$