Номер 5.47, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.47. Покажите, что многочлен $x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32$ делится на $(x - 2)^2$.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32$ делится на $(x - 2)^2$, необходимо показать, что $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$ кратности не менее 2. Рассмотрим два способа доказательства.

Согласно свойству кратных корней, число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ кратности не менее 2, если $P(a) = 0$ и его первая производная $P'(a) = 0$. Проверим эти условия для нашего многочлена в точке $x=2$.

Сначала вычислим значение многочлена $P(x)$ в точке $x=2$:

$P(2) = 2^5 - 6 \cdot 2^4 + 16 \cdot 2^3 - 32 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 - 32 = 32 - 6(16) + 16(8) - 32(4) + 96 - 32 = 32 - 96 + 128 - 128 + 96 - 32 = 0$.

Поскольку $P(2)=0$, многочлен делится на $(x-2)$.

Теперь найдем первую производную многочлена $P'(x)$:

$P'(x) = (x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32)' = 5x^4 - 24x^3 + 48x^2 - 64x + 48$.

Вычислим значение производной в точке $x=2$:

$P'(2) = 5 \cdot 2^4 - 24 \cdot 2^3 + 48 \cdot 2^2 - 64 \cdot 2 + 48 = 5(16) - 24(8) + 48(4) - 128 + 48 = 80 - 192 + 192 - 128 + 48 = 128 - 128 = 0$.

Так как $P(2)=0$ и $P'(2)=0$, число $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$ кратности не менее 2. Следовательно, многочлен $P(x)$ делится на $(x-2)^2$.

Ответ: Делимость доказана, так как значение многочлена и его первой производной в точке $x=2$ равны нулю, что является условием для наличия корня кратности не менее 2.

Для того чтобы многочлен $P(x)$ делился на $(x-2)^2$, он должен делиться на $(x-2)$, и получившееся частное также должно делиться на $(x-2)$.

1. Выполним деление $P(x) = x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32$ на $(x-2)$ по схеме Горнера.

Остаток от деления равен 0. Частное от деления: $Q(x) = x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16$.

2. Теперь разделим полученное частное $Q(x)$ на $(x-2)$.

Остаток снова равен 0. Новое частное: $R(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8$.

Поскольку оба деления выполнились без остатка, мы можем записать: $P(x) = (x-2) \cdot Q(x) = (x-2) \cdot (x-2) \cdot R(x) = (x-2)^2(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$.

Это равенство в явном виде показывает, что многочлен $P(x)$ делится на $(x-2)^2$.

Ответ: Делимость доказана путем двукратного деления многочлена на $(x-2)$ без остатка.