Номер 5.44, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.44. Напишите многочлен, корни которого равны:

1) $-1, 2, 3, 4;$

2) $-1, 0, 1, 2, 3.$

Чтобы найти многочлен по его корням, можно воспользоваться свойством, что если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни многочлена $P(x)$, то его можно представить в виде произведения $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$, где $a$ — некоторое число, не равное нулю. Для простоты примем $a=1$.

1) Заданы корни многочлена: $-1, 2, 3, 4$.
Составим многочлен $P_1(x)$ в виде произведения линейных множителей:
$P_1(x) = (x - (-1))(x - 2)(x - 3)(x - 4) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$.
Теперь раскроем скобки. Для удобства перемножим сначала первые две скобки и последние две:
$(x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$.
$(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$.
Теперь перемножим полученные многочлены:
$P_1(x) = (x^2 - x - 2)(x^2 - 7x + 12) = x^2(x^2 - 7x + 12) - x(x^2 - 7x + 12) - 2(x^2 - 7x + 12) = x^4 - 7x^3 + 12x^2 - x^3 + 7x^2 - 12x - 2x^2 + 14x - 24$.
Приведем подобные слагаемые:
$P_1(x) = x^4 + (-7-1)x^3 + (12+7-2)x^2 + (-12+14)x - 24 = x^4 - 8x^3 + 17x^2 + 2x - 24$.
Ответ: $P(x) = x^4 - 8x^3 + 17x^2 + 2x - 24$.

2) Заданы корни многочлена: $-1, 0, 1, 2, 3$.
Составим многочлен $P_2(x)$ в виде произведения:
$P_2(x) = (x - (-1))(x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) = x(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)$.
Сгруппируем множители для удобства вычисления:
$P_2(x) = x \cdot [(x - 1)(x + 1)] \cdot [(x - 2)(x - 3)]$.
Раскроем скобки в каждой группе, используя формулу разности квадратов для первой группы:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$P_2(x) = x(x^2 - 1)(x^2 - 5x + 6) = x[x^2(x^2 - 5x + 6) - 1(x^2 - 5x + 6)] = x[x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x^2 + 5x - 6]$.
Приведем подобные слагаемые внутри квадратных скобок:
$P_2(x) = x(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6)$.
Раскроем последнюю скобку, умножив каждый член на $x$:
$P_2(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 6x$.
Ответ: $P(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 6x$.