Страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите общий вид многочлена n-й степени. Укажите старший член и свободный член.

Общий вид многочлена n-й степени: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$.

Старший член: $a_n x^n$.

Свободный член: $a_0$.

2. Сформулируйте и докажите теорему о делении многочлена на многочлен.

3. Сформулируйте и докажите теорему Безу и ее следствия.

4. На примере поясните смысл схемы Горнера.

5. Напишите формулу Виета для многочленов 2-й, 3-й и 4-й степени.

Для многочлена 2-й степени: $ax^2 + bx + c = 0$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Для многочлена 3-й степени: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$

$x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}$

Для многочлена 4-й степени: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$

$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = \frac{c}{a}$

$x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -\frac{d}{a}$

$x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a}$

6. Как используется метод неопределенных коэффициентов? Объясните это на примере.

1. Напишите общий вид многочлена n-й степени. Укажите старший член и свободный член.
Многочлен $n$-й степени от одной переменной $x$ — это выражение вида:
$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем коэффициент $a_n$ не равен нулю ($a_n \neq 0$). Число $n$ является натуральным числом или нулем и называется степенью многочлена.

Старший член многочлена — это слагаемое с наибольшей степенью переменной. Для многочлена $P_n(x)$ старшим членом является $a_n x^n$.

Свободный член многочлена — это слагаемое, не содержащее переменной (член нулевой степени). Для многочлена $P_n(x)$ свободным членом является $a_0$.

Ответ: Общий вид многочлена $n$-й степени: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n \neq 0$. Старший член: $a_n x^n$. Свободный член: $a_0$.

2. Сформулируйте и докажите теорему о делении многочлена на многочлен.
Формулировка теоремы (о делении с остатком):
Для любых двух многочленов $P(x)$ (делимое) и $D(x)$ (делитель), где $D(x)$ не является нулевым многочленом, существуют и притом единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что выполняется равенство:
$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$
причем степень многочлена $R(x)$ строго меньше степени многочлена $D(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.

Доказательство:
Пусть степень $P(x)$ равна $n$, а степень $D(x)$ равна $m$.
$P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$
$D(x) = b_m x^m + \dots + b_0$, ($b_m \neq 0$).

1. Доказательство существования.
Если $n < m$, то можно положить $Q(x) = 0$ и $R(x) = P(x)$. Условие $\text{deg}(R) < \text{deg}(D)$ выполнено.Если $n \geq m$, применим индукцию по степени $n$ многочлена $P(x)$.
База индукции: Если $n=0$, то $m$ тоже должно быть $0$. $P(x)=a_0, D(x)=b_0$. Тогда $Q(x) = a_0/b_0$ и $R(x)=0$. Условие выполнено.
Шаг индукции: Предположим, что теорема верна для всех многочленов $P(x)$ со степенью меньше $n$. Рассмотрим многочлен $P(x)$ степени $n \geq m$.
Составим многочлен $P_1(x)$:$P_1(x) = P(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x)$
Старший член $P(x)$ равен $a_n x^n$. Старший член $\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x)$ равен $\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} \cdot b_m x^m = a_n x^n$. При вычитании старшие члены уничтожаются, поэтому степень многочлена $P_1(x)$ строго меньше $n$.
По предположению индукции, для $P_1(x)$ существуют $Q_1(x)$ и $R(x)$ такие, что $P_1(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + R(x)$, где $\text{deg}(R) < m$.
Подставим выражение для $P_1(x)$ обратно:$P(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + R(x)$
$P(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x) + R(x)$
$P(x) = D(x) \cdot \left(Q_1(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}\right) + R(x)$
Обозначив $Q(x) = Q_1(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}$, мы получаем искомое представление. Существование доказано.

2. Доказательство единственности.
Предположим, что существует две пары многочленов $(Q_1(x), R_1(x))$ и $(Q_2(x), R_2(x))$:
$P(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + R_1(x)$, где $\text{deg}(R_1) < m$
$P(x) = D(x) \cdot Q_2(x) + R_2(x)$, где $\text{deg}(R_2) < m$
Приравняем правые части:$D(x) \cdot Q_1(x) + R_1(x) = D(x) \cdot Q_2(x) + R_2(x)$
$D(x) \cdot (Q_1(x) - Q_2(x)) = R_2(x) - R_1(x)$
Степень левой части, если $Q_1(x) \neq Q_2(x)$, равна $\text{deg}(D) + \text{deg}(Q_1 - Q_2) \geq m$.
Степень правой части $\text{deg}(R_2 - R_1)$ строго меньше $m$, так как $\text{deg}(R_1) < m$ и $\text{deg}(R_2) < m$.
Равенство многочленов с разными степенями возможно только если оба они являются нулевыми многочленами.Следовательно, $R_2(x) - R_1(x) = 0$, и $D(x) \cdot (Q_1(x) - Q_2(x)) = 0$.
Так как $D(x)$ — не нулевой многочлен, то $Q_1(x) - Q_2(x) = 0$.
Таким образом, $Q_1(x) = Q_2(x)$ и $R_1(x) = R_2(x)$. Единственность доказана.

Ответ: Теорема утверждает, что для любых многочленов $P(x)$ и $D(x) \not\equiv 0$ существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ и степень $R(x)$ меньше степени $D(x)$.

3. Сформулируйте и докажите теорему Безу и ее следствия.
Формулировка теоремы Безу:
Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $R = P(c)$.

Доказательство:
Согласно теореме о делении многочлена на многочлен, при делении $P(x)$ на двучлен $D(x) = x-c$ мы можем записать:
$P(x) = (x-c) \cdot Q(x) + R(x)$
Степень делителя $D(x)=x-c$ равна 1. Следовательно, степень остатка $R(x)$ должна быть строго меньше 1, то есть $R(x)$ является многочленом нулевой степени или нулевым многочленом. Это означает, что остаток $R$ есть некоторое число (константа).
$P(x) = (x-c) \cdot Q(x) + R$
Подставим в это равенство значение $x = c$:
$P(c) = (c-c) \cdot Q(c) + R$
$P(c) = 0 \cdot Q(c) + R$
$P(c) = R$
Теорема доказана.

Следствия из теоремы Безу:
Следствие 1. Число $c$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится на двучлен $(x-c)$ без остатка.
Доказательство: Если $c$ — корень, то $P(c)=0$. По теореме Безу остаток $R=P(c)=0$. Если $P(x)$ делится на $(x-c)$ без остатка, то $R=0$. По теореме Безу $P(c)=R=0$, значит $c$ — корень.

Следствие 2. Если многочлен $P_n(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных корней $c_1, c_2, \dots, c_n$, то он может быть представлен в виде произведения:
$P_n(x) = a_n(x-c_1)(x-c_2)\dots(x-c_n)$, где $a_n$ — старший коэффициент.

Следствие 3. Многочлен степени $n$ не может иметь более чем $n$ различных корней.

Ответ: Теорема Безу: остаток от деления $P(x)$ на $(x-c)$ равен $P(c)$. Следствие: $c$ — корень $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится на $(x-c)$ нацело.

4. На примере поясните смысл схемы Горнера.
Схема Горнера — это быстрый алгоритм для вычисления значения многочлена в точке, а также для деления многочлена на двучлен вида $(x-c)$.
Смысл метода заключается в представлении многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ в виде:
$P(x) = (\dots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dots + a_1)x + a_0$
Это позволяет вычислять значение $P(c)$ последовательно, выполняя только $n$ умножений и $n$ сложений.
Коэффициенты $b_k$, получаемые на каждом шаге, являются коэффициентами частного от деления $P(x)$ на $(x-c)$, а последнее полученное число — остатком.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 8$ на двучлен $(x+2)$.
Здесь $c = -2$. Коэффициенты многочлена $P(x)$ (включая член с $x^2$, который равен 0): $a_4=3, a_3=-2, a_2=0, a_1=5, a_0=-8$.
Составим таблицу:
1. В верхней строке записываем коэффициенты исходного многочлена.
2. В левом столбце пишем значение $c$.
3. Старший коэффициент $b_{n-1}$ частного равен старшему коэффициенту $a_n$ делимого. Переносим его в нижнюю строку.
4. Остальные коэффициенты $b_k$ и остаток $R$ вычисляются по рекуррентной формуле: $b_{k-1} = c \cdot b_k + a_k$.


Вычисления:
1. $b_3 = a_4 = 3$.
2. $b_2 = c \cdot b_3 + a_3 = (-2) \cdot 3 + (-2) = -6 - 2 = -8$.
3. $b_1 = c \cdot b_2 + a_2 = (-2) \cdot (-8) + 0 = 16$.
4. $b_0 = c \cdot b_1 + a_1 = (-2) \cdot 16 + 5 = -32 + 5 = -27$.
5. $R = c \cdot b_0 + a_0 = (-2) \cdot (-27) + (-8) = 54 - 8 = 46$.

Числа в нижней строке (кроме последнего) — это коэффициенты частного $Q(x)$. Последнее число — это остаток $R$.
Частное: $Q(x) = 3x^3 - 8x^2 + 16x - 27$.
Остаток: $R = 46$.
Таким образом, $3x^4 - 2x^3 + 5x - 8 = (x+2)(3x^3 - 8x^2 + 16x - 27) + 46$.
Кроме того, по теореме Безу, значение многочлена $P(-2)$ равно остатку, т.е. $P(-2) = 46$.

Ответ: Схема Горнера — это алгоритм, позволяющий быстро найти частное и остаток от деления многочлена на $(x-c)$, а также вычислить значение многочлена в точке $c$.

5. Напишите формулу Виета для многочленов 2-й, 3-й и 4-й степени.
Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

Для многочлена 2-й степени (квадратного уравнения):
$ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$.
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}$

Для многочлена 3-й степени (кубического уравнения):
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$.
$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a} \end{cases}$

Для многочлена 4-й степени:
$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3, x_4$.
$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = \frac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -\frac{d}{a} \\ x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a} \end{cases}$

Ответ: Формулы Виета для приведенных многочленов (где $a=1$) связывают их коэффициенты с симметрическими многочленами от корней: сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, сумма попарных произведений корней — третьему коэффициенту и т.д., чередуя знаки. Для неприведенных многочленов ($a \neq 1$) правая часть каждой формулы делится на $a$.

6. Как используется метод неопределенных коэффициентов? Объясните это на примере.
Метод неопределенных коэффициентов — это способ нахождения коэффициентов выражения, общий вид которого известен. Метод основан на свойстве равенства двух многочленов: два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
Этот метод часто используется для разложения многочленов на множители или для разложения рациональных дробей на простейшие.

Пример: Разложить многочлен $P(x) = x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6$ на множители.
Предположим, что этот многочлен можно разложить на два квадратных трехчлена с целыми коэффициентами (поскольку старший коэффициент и свободный член позволяют это предположить):
$x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$
где $a, b, c, d$ — неопределенные коэффициенты, которые нам нужно найти.
Раскроем скобки в правой части:
$(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd$
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:
$= x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$
Теперь приравняем коэффициенты этого многочлена к коэффициентам исходного многочлена $P(x)$:
$\begin{cases}x^3: & a+c = 3 \\x^2: & b+d+ac = -3 \\x: & ad+bc = -7 \\x^0: & bd = 6\end{cases}$
Теперь нужно решить эту систему уравнений. Из последнего уравнения $bd=6$, можно предположить, что $b$ и $d$ — целые делители числа 6. Попробуем пару $b=2, d=3$.
Подставим в систему:
$\begin{cases}a+c = 3 \\2+3+ac = -3 \implies ac = -8 \\3a+2c = -7\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $c = 3-a$ и подставим во второе:
$a(3-a) = -8 \implies 3a - a^2 = -8 \implies a^2 - 3a - 8 = 0$. Это уравнение не имеет целых корней. Значит, наш выбор $b$ и $d$ был неверным.

Попробуем другую пару, например, $b=-2, d=-3$.
$\begin{cases}a+c = 3 \\-2-3+ac = -3 \implies ac = 2 \\-3a-2c = -7 \implies 3a+2c = 7\end{cases}$
Из первого уравнения $c=3-a$. Подставим во второе:
$a(3-a) = 2 \implies 3a-a^2=2 \implies a^2-3a+2=0$.
Корни этого квадратного уравнения: $a_1=1, a_2=2$.
1. Если $a=1$, то $c = 3-1 = 2$. Проверим по третьему уравнению системы: $3(1)+2(2) = 3+4=7$. Верно.
2. Если $a=2$, то $c = 3-2 = 1$. Проверим по третьему уравнению: $3(2)+2(1) = 6+2=8 \neq 7$. Неверно.

Таким образом, мы нашли коэффициенты: $a=1, b=-2, c=2, d=-3$.
Искомое разложение:
$x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6 = (x^2 + x - 2)(x^2 + 2x - 3)$
Каждый из квадратных трехчленов можно разложить дальше:
$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$
$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$
Окончательное разложение: $P(x) = (x-1)^2(x+2)(x+3)$.

Ответ: Метод заключается в записи искомого выражения (например, разложения на множители) с неизвестными (неопределенными) коэффициентами, приравнивании его к исходному выражению и составлении системы уравнений путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

5.36. Выполните деление с остатком первого многочлена на второй:

1) $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$; $x^3 - x + 1$;

2) $x^6 - 2x^2 + x - 1$; $x^5 - x$;

3) $x^4 + x^2 - 2$; $x^2 - 1$;

4) $x^7 - 1$; $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

1) Выполним деление многочлена $P(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$ на многочлен $D(x) = x^3 - x + 1$.
Для этого воспользуемся методом деления столбиком.
1. Делим старший член делимого $x^5$ на старший член делителя $x^3$. Получаем $x^2$ — это первый член частного.
2. Умножаем $x^2$ на делитель $x^3 - x + 1$: $x^2(x^3 - x + 1) = x^5 - x^3 + x^2$.
3. Вычитаем полученный результат из делимого: $(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1) - (x^5 - x^3 + x^2) = -x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1$.
4. Делим старший член нового делимого $-x^4$ на старший член делителя $x^3$. Получаем $-x$ — это второй член частного.
5. Умножаем $-x$ на делитель: $-x(x^3 - x + 1) = -x^4 + x^2 - x$.
6. Вычитаем из $-x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1$: $(-x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1) - (-x^4 + x^2 - x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
7. Делим старший член $2x^3$ на $x^3$. Получаем $2$ — это третий член частного.
8. Умножаем $2$ на делитель: $2(x^3 - x + 1) = 2x^3 - 2x + 2$.
9. Вычитаем из $2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$: $(2x^3 - 3x^2 + 2x - 1) - (2x^3 - 2x + 2) = -3x^2 + 4x - 3$.
Степень полученного многочлена $-3x^2 + 4x - 3$ (равна 2) меньше степени делителя $x^3 - x + 1$ (равна 3), поэтому деление завершено.
Неполное частное: $Q(x) = x^2 - x + 2$.
Остаток: $R(x) = -3x^2 + 4x - 3$.
Ответ: $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = (x^3 - x + 1)(x^2 - x + 2) + (-3x^2 + 4x - 3)$.

2) Выполним деление многочлена $P(x) = x^6 - 2x^2 + x - 1$ на многочлен $D(x) = x^5 - x$.
1. Делим старший член делимого $x^6$ на старший член делителя $x^5$. Получаем $x$ — это первый член частного.
2. Умножаем $x$ на делитель: $x(x^5 - x) = x^6 - x^2$.
3. Вычитаем полученный результат из делимого: $(x^6 - 2x^2 + x - 1) - (x^6 - x^2) = -x^2 + x - 1$.
Степень полученного многочлена $-x^2 + x - 1$ (равна 2) меньше степени делителя $x^5 - x$ (равна 5), следовательно, это остаток.
Неполное частное: $Q(x) = x$.
Остаток: $R(x) = -x^2 + x - 1$.
Ответ: $x^6 - 2x^2 + x - 1 = (x^5 - x) \cdot x + (-x^2 + x - 1)$.

3) Выполним деление многочлена $P(x) = x^4 + x^2 - 2$ на многочлен $D(x) = x^2 - 1$.
Можно выполнить деление столбиком, но в данном случае проще разложить делимое на множители.
Заметим, что делимое можно разложить как квадратный трехчлен относительно $x^2$:
$x^4 + x^2 - 2 = (x^2)^2 + x^2 - 2$.
Введем замену $y = x^2$. Получим выражение $y^2 + y - 2$.
Найдем корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Тогда $y^2 + y - 2 = (y - 1)(y + 2)$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем: $x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)$.
Теперь деление очевидно: $\frac{(x^2 - 1)(x^2 + 2)}{x^2 - 1} = x^2 + 2$.
Неполное частное: $Q(x) = x^2 + 2$.
Остаток: $R(x) = 0$.
Ответ: $x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)$.

4) Выполним деление многочлена $P(x) = x^7 - 1$ на многочлен $D(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Воспользуемся известной формулой разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
При $a=x$, $b=1$ и $n=7$ получаем:
$x^7 - 1 = x^7 - 1^7 = (x-1)(x^6 \cdot 1^0 + x^5 \cdot 1^1 + \dots + x^0 \cdot 1^6) = (x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
Таким образом, многочлен $x^7 - 1$ делится нацело на многочлен $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Результат деления (частное): $\frac{x^7 - 1}{x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} = x - 1$.
Неполное частное: $Q(x) = x - 1$.
Остаток: $R(x) = 0$.
Ответ: $x^7 - 1 = (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1)$.

5.37. Определите A, B и C так, чтобы:

1) $x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = (x + 1)(x^3 + Ax^2 + Bx + C);$

2) $3x^5 - x^4 - 3x + 1 = (x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + C).$

1) Для нахождения коэффициентов A, B и C в равенстве $x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = (x + 1)(x^3 + Ax^2 + Bx + C)$ раскроем скобки в правой части выражения.

$(x + 1)(x^3 + Ax^2 + Bx + C) = x \cdot (x^3 + Ax^2 + Bx + C) + 1 \cdot (x^3 + Ax^2 + Bx + C)$

$= x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + x^3 + Ax^2 + Bx + C$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$:

$= x^4 + (A + 1)x^3 + (B + A)x^2 + (C + B)x + C$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях исходного равенства. Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов.

$x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = x^4 + (A + 1)x^3 + (B + A)x^2 + (C + B)x + C$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} A + 1 = 2 \\ B + A = -16 \\ C + B = -2 \\ C = 15 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения находим A:

$A = 2 - 1 = 1$

Подставим найденное значение A во второе уравнение, чтобы найти B:

$B + 1 = -16 \implies B = -16 - 1 = -17$

Из четвертого уравнения мы знаем, что $C=15$. Для проверки подставим найденное значение B в третье уравнение:

$C + (-17) = -2 \implies C = -2 + 17 = 15$

Значение C совпадает, следовательно, коэффициенты найдены верно.

Ответ: $A=1, B=-17, C=15$.

2) Для нахождения коэффициентов A, B и C в равенстве $3x^5 - x^4 - 3x + 1 = (x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + C)$ также воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Раскроем скобки в правой части:

$(x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + C) = x^2 \cdot (3x^3 + Ax^2 + Bx + C) + 1 \cdot (3x^3 + Ax^2 + Bx + C)$

$= 3x^5 + Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + 3x^3 + Ax^2 + Bx + C$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$:

$= 3x^5 + Ax^4 + (B + 3)x^3 + (C + A)x^2 + Bx + C$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях. Обратим внимание, что в многочлене в левой части отсутствуют члены с $x^3$ и $x^2$, что означает, что их коэффициенты равны нулю.

$3x^5 - x^4 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 - 3x + 1 = 3x^5 + Ax^4 + (B + 3)x^3 + (C + A)x^2 + Bx + C$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} A = -1 \\ B + 3 = 0 \\ C + A = 0 \\ B = -3 \\ C = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения сразу получаем $A = -1$.

Из второго уравнения находим B:

$B = -3$

Это значение совпадает со значением из четвертого уравнения, что подтверждает его правильность.

Подставим значение A в третье уравнение, чтобы найти C:

$C + (-1) = 0 \implies C = 1$

Это значение совпадает со значением из пятого уравнения. Все коэффициенты найдены верно.

Ответ: $A=-1, B=-3, C=1$.

5.38. Выполните деление многочлена на двучлен $x + 1$ по схеме Горнера. Найдите остаток и неполное частное:

1) $x^6 + 9x^3 + 32x + 16$;

2) $14x - 4 + 27x^4 - 9x^7$;

3) $x^5 - 7x - 6$;

4) $x^4 + 19x^2 - 30$.

Схема Горнера — это алгоритм для деления многочлена $P(x)$ на двучлен вида $(x - c)$. В данной задаче мы делим на двучлен $x + 1$, что эквивалентно делению на $(x - (-1))$. Таким образом, для всех вычислений $c = -1$.

Для каждого многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ мы составляем таблицу. В первой строке записываются коэффициенты $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$, при этом, если какая-либо степень $x$ отсутствует, ее коэффициент считается равным нулю. Во второй строке вычисляются коэффициенты неполного частного $Q(x) = b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_0$ и остаток $R$.

Вычисления проводятся по рекуррентным формулам:

$b_{n-1} = a_n$

$b_{k-1} = a_k + c \cdot b_k$ для $k = n-1, \dots, 1$

$R = a_0 + c \cdot b_0$

Последнее число во второй строке является остатком $R$. Остальные числа — это коэффициенты неполного частного $Q(x)$.

1) $x^6 + 9x^3 + 32x + 16$

Запишем многочлен в стандартном виде, добавляя члены с нулевыми коэффициентами: $P(x) = 1x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 9x^3 + 0x^2 + 32x + 16$.

Коэффициенты многочлена: $1, 0, 0, 9, 0, 32, 16$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Из второй строки таблицы получаем коэффициенты неполного частного: $1, -1, 1, 8, -8, 40$. Последнее число, $-24$, является остатком.

Неполное частное: $x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40$.

Остаток: $-24$.

Ответ: неполное частное $x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40$, остаток $-24$.

2) $14x - 4 + 27x^4 - 9x^7$

Запишем многочлен в стандартном виде: $P(x) = -9x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 27x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 14x - 4$.

Коэффициенты многочлена: $-9, 0, 0, 27, 0, 0, 14, -4$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты неполного частного: $-9, 9, -9, 36, -36, 36, -22$. Остаток равен $18$.

Неполное частное: $-9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22$.

Остаток: $18$.

Ответ: неполное частное $-9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22$, остаток $18$.

3) $x^5 - 7x - 6$

Запишем многочлен в стандартном виде: $P(x) = 1x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 7x - 6$.

Коэффициенты многочлена: $1, 0, 0, 0, -7, -6$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты неполного частного: $1, -1, 1, -1, -6$. Остаток равен $0$.

Неполное частное: $x^4 - x^3 + x^2 - x - 6$.

Остаток: $0$.

Ответ: неполное частное $x^4 - x^3 + x^2 - x - 6$, остаток $0$.

4) $x^4 + 19x^2 - 30$

Запишем многочлен в стандартном виде: $P(x) = 1x^4 + 0x^3 + 19x^2 + 0x - 30$.

Коэффициенты многочлена: $1, 0, 19, 0, -30$. Делитель $x+1$, следовательно $c = -1$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты неполного частного: $1, -1, 20, -20$. Остаток равен $-10$.

Неполное частное: $x^3 - x^2 + 20x - 20$.

Остаток: $-10$.

Ответ: неполное частное $x^3 - x^2 + 20x - 20$, остаток $-10$.

5.39. По схеме Горнера покажите, что числа $ -2 $ и $ 1 $ являются корнями многочлена:

1) $2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 6;$

2) $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12;$

3) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12.$

1) Для многочлена $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 6$ с коэффициентами $2, 7, -2, -13, 6$ применим схему Горнера для проверки корней -2 и 1.

Для корня $c = -2$:

$b_3 = 2$
$b_2 = 7 + (-2) \cdot 2 = 3$
$b_1 = -2 + (-2) \cdot 3 = -8$
$b_0 = -13 + (-2) \cdot (-8) = 3$
Остаток $R = 6 + (-2) \cdot 3 = 0$.
Так как остаток равен 0, число -2 является корнем многочлена.

Для корня $c = 1$:

$b_3 = 2$
$b_2 = 7 + 1 \cdot 2 = 9$
$b_1 = -2 + 1 \cdot 9 = 7$
$b_0 = -13 + 1 \cdot 7 = -6$
Остаток $R = 6 + 1 \cdot (-6) = 0$.
Так как остаток равен 0, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: Схема Горнера показывает, что при делении многочлена на $(x+2)$ и $(x-1)$ остаток равен нулю, следовательно, числа -2 и 1 являются его корнями.

2) Для многочлена $P(x) = (x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12$ сначала приведем его к стандартному виду:

$P(x) = (x^4 + 2x^3 + x^2) + 4x^2 + 4x - 12 = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x - 12$.

Коэффициенты многочлена: $1, 2, 5, 4, -12$. Применим схему Горнера.

Для корня $c = -2$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + (-2) \cdot 1 = 0$
$b_1 = 5 + (-2) \cdot 0 = 5$
$b_0 = 4 + (-2) \cdot 5 = -6$
Остаток $R = -12 + (-2) \cdot (-6) = 0$.
Так как остаток равен 0, число -2 является корнем многочлена.

Для корня $c = 1$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + 1 \cdot 1 = 3$
$b_1 = 5 + 1 \cdot 3 = 8$
$b_0 = 4 + 1 \cdot 8 = 12$
Остаток $R = -12 + 1 \cdot 12 = 0$.
Так как остаток равен 0, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: Схема Горнера показывает, что при делении многочлена на $(x+2)$ и $(x-1)$ остаток равен нулю, следовательно, числа -2 и 1 являются его корнями.

3) Для многочлена $P(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$ сначала приведем его к стандартному виду. Для удобства сделаем замену $y = x^2 + x$:

$(y+1)(y+2) - 12 = y^2 + 3y + 2 - 12 = y^2 + 3y - 10$.

Теперь подставим $x^2+x$ обратно вместо $y$ и раскроем скобки:

$P(x) = (x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) - 10 = (x^4 + 2x^3 + x^2) + (3x^2 + 3x) - 10 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x - 10$.

Коэффициенты многочлена: $1, 2, 4, 3, -10$. Применим схему Горнера.

Для корня $c = -2$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + (-2) \cdot 1 = 0$
$b_1 = 4 + (-2) \cdot 0 = 4$
$b_0 = 3 + (-2) \cdot 4 = -5$
Остаток $R = -10 + (-2) \cdot (-5) = 0$.
Так как остаток равен 0, число -2 является корнем многочлена.

Для корня $c = 1$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + 1 \cdot 1 = 3$
$b_1 = 4 + 1 \cdot 3 = 7$
$b_0 = 3 + 1 \cdot 7 = 10$
Остаток $R = -10 + 1 \cdot 10 = 0$.
Так как остаток равен 0, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: Схема Горнера показывает, что при делении многочлена на $(x+2)$ и $(x-1)$ остаток равен нулю, следовательно, числа -2 и 1 являются его корнями.

5.40. Напишите многочлен 3-й степени, корни которого равны:

1) $1, 2, -3$

2) $0, -1, 1$

3) $-2, 1, 4$

4) $-1, 2, 3$

1) Чтобы составить многочлен 3-й степени с заданными корнями $x_1, x_2, x_3$, можно воспользоваться общей формулой: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, где $a$ — старший коэффициент, не равный нулю. Для упрощения задачи примем $a=1$.
Даны корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -3$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - (-3)) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$.
Теперь последовательно раскроем скобки. Сначала перемножим первые два двучлена:
$(x - 1)(x - 2) = x \cdot x - x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.
Затем умножим полученный результат на оставшийся двучлен $(x + 3)$:
$(x^2 - 3x + 2)(x + 3) = x^2(x + 3) - 3x(x + 3) + 2(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 2x + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (3x^2 - 3x^2) + (-9x + 2x) + 6 = x^3 - 7x + 6$.
Ответ: $x^3 - 7x + 6$.

2)Воспользуемся общей формулой для многочлена 3-й степени с корнями $x_1, x_2, x_3$: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Примем старший коэффициент $a=1$.
Даны корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - 0)(x - (-1))(x - 1) = x(x + 1)(x - 1)$.
Заметим, что произведение $(x + 1)(x - 1)$ является разностью квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Теперь умножим полученное выражение на $x$:
$P(x) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$.
Ответ: $x^3 - x$.

3)Используем формулу для многочлена 3-й степени с корнями $x_1, x_2, x_3$: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, приняв $a=1$.
Даны корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 4$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - (-2))(x - 1)(x - 4) = (x + 2)(x - 1)(x - 4)$.
Последовательно раскроем скобки. Сначала перемножим первые два множителя:
$(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$.
Теперь умножим результат на $(x - 4)$:
$(x^2 + x - 2)(x - 4) = x^2(x - 4) + x(x - 4) - 2(x - 4) = x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-4x^2 + x^2) + (-4x - 2x) + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.
Ответ: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.

4)Составим многочлен 3-й степени по его корням $x_1, x_2, x_3$ по формуле $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, где $a=1$.
Даны корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - (-1))(x - 2)(x - 3) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$.
Последовательно раскроем скобки. Удобнее сначала перемножить последние два множителя:
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
Теперь умножим результат на $(x + 1)$:
$(x + 1)(x^2 - 5x + 6) = x(x^2 - 5x + 6) + 1(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 5x^2 + 6x + x^2 - 5x + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-5x^2 + x^2) + (6x - 5x) + 6 = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Ответ: $x^3 - 4x^2 + x + 6$.

5.41. Числа 1 и –2 являются корнями многочлена $2x^3 + mx^2 + nx + 12$.

Найдите его третий корень.

Пусть данный многочлен $P(x) = 2x^3 + mx^2 + nx + 12$.Поскольку это многочлен третьей степени, он имеет три корня. Обозначим их как $x_1$, $x_2$ и $x_3$.Из условия задачи известны два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Нам нужно найти третий корень $x_3$.

Для решения этой задачи удобно воспользоваться теоремой Виета для кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Одна из формул Виета связывает произведение корней с коэффициентами многочлена:$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

В нашем случае коэффициенты многочлена $2x^3 + mx^2 + nx + 12$ следующие: $a = 2$, $b = m$, $c = n$ и $d = 12$.Обратите внимание, что для нахождения произведения корней нам не требуются значения неизвестных коэффициентов $m$ и $n$.

Подставим известные значения в формулу Виета:$x_1 = 1$, $x_2 = -2$, $a = 2$, $d = 12$.$1 \cdot (-2) \cdot x_3 = -\frac{12}{2}$

Упростим полученное уравнение:$-2 \cdot x_3 = -6$

Теперь найдем $x_3$, разделив обе части уравнения на -2:$x_3 = \frac{-6}{-2}$$x_3 = 3$

Таким образом, третий корень многочлена равен 3.

Ответ: 3

5.42. Числа 1 и 2 являются корнями многочлена $x^3 - 4x^2 + ax + b$.

Найдите числа $a$, $b$ и третий корень.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$.
По условию, числа 1 и 2 являются корнями этого многочлена. Это означает, что при подстановке этих значений вместо $x$, значение многочлена будет равно нулю, то есть $P(1) = 0$ и $P(2) = 0$.

Найдите числа a, b
Чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$, составим систему уравнений, используя свойство корней.
1. Подставим корень $x=1$ в уравнение многочлена:
$P(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + a \cdot 1 + b = 0$
$1 - 4 + a + b = 0$
$a + b - 3 = 0$
$a + b = 3$ (Уравнение 1)

2. Подставим корень $x=2$ в уравнение многочлена:
$P(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + a \cdot 2 + b = 0$
$8 - 4 \cdot 4 + 2a + b = 0$
$8 - 16 + 2a + b = 0$
$2a + b - 8 = 0$
$2a + b = 8$ (Уравнение 2)

Теперь решим полученную систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 8 \end{cases} $
Вычтем Уравнение 1 из Уравнения 2:
$(2a + b) - (a + b) = 8 - 3$
$a = 5$
Подставим найденное значение $a=5$ в Уравнение 1:
$5 + b = 3$
$b = 3 - 5$
$b = -2$
Ответ: $a=5, b=-2$.

Найдите третий корень
Теперь, когда мы знаем коэффициенты, многочлен имеет вид: $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$.
Пусть $x_1, x_2, x_3$ — корни многочлена. По условию $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Нам нужно найти третий корень $x_3$.
Для этого воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения вида $x^3 + px^2 + qx + r = 0$. Согласно одной из формул Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x^2$, взятому с противоположным знаком.
В нашем случае коэффициент при $x^2$ равен $-4$.
Следовательно, сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -(-4) = 4$.
Подставим известные корни:
$1 + 2 + x_3 = 4$
$3 + x_3 = 4$
$x_3 = 4 - 3$
$x_3 = 1$
Для проверки можно использовать другую формулу Виета: произведение корней равно свободному члену, взятому с противоположным знаком.
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -(-2) = 2$.
$1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$.
$2 = 2$.
Равенство выполняется, следовательно, третий корень найден верно. Получается, что число 1 является корнем кратности 2.
Ответ: третий корень равен 1.

5.43. Число $-1$ является корнем многочлена $x^3 - 2x^2 + ax - 2$. Найдите два других корня и коэффициент $a$.

Поскольку число $-1$ является корнем многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax - 2$, это означает, что при подстановке $x = -1$ в многочлен, его значение обращается в ноль.

Коэффициент a

Найдем значение коэффициента $a$, подставив $x = -1$ в уравнение $P(x) = 0$:

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + a(-1) - 2 = 0$

Выполним вычисления:

$-1 - 2(1) - a - 2 = 0$

$-1 - 2 - a - 2 = 0$

$-5 - a = 0$

$a = -5$

Два других корня

Теперь, когда мы определили значение $a$, многочлен имеет вид: $x^3 - 2x^2 - 5x - 2$.

Так как $x_1 = -1$ является корнем, многочлен можно разделить без остатка на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x - (-1)) = (x+1)$. Выполнив деление многочлена на двучлен (например, делением в столбик или по схеме Горнера), мы получим квадратный трехчлен:

$(x^3 - 2x^2 - 5x - 2) \div (x + 1) = x^2 - 3x - 2$

Оставшиеся два корня многочлена являются решениями квадратного уравнения:

$x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

Теперь найдем корни $x_2$ и $x_3$:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Таким образом, два других корня это $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ и $x_3 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: коэффициент $a = -5$; два других корня: $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ и $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.

5.44. Напишите многочлен, корни которого равны:

1) $-1, 2, 3, 4;$

2) $-1, 0, 1, 2, 3.$

Чтобы найти многочлен по его корням, можно воспользоваться свойством, что если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни многочлена $P(x)$, то его можно представить в виде произведения $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$, где $a$ — некоторое число, не равное нулю. Для простоты примем $a=1$.

1) Заданы корни многочлена: $-1, 2, 3, 4$.
Составим многочлен $P_1(x)$ в виде произведения линейных множителей:
$P_1(x) = (x - (-1))(x - 2)(x - 3)(x - 4) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$.
Теперь раскроем скобки. Для удобства перемножим сначала первые две скобки и последние две:
$(x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$.
$(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$.
Теперь перемножим полученные многочлены:
$P_1(x) = (x^2 - x - 2)(x^2 - 7x + 12) = x^2(x^2 - 7x + 12) - x(x^2 - 7x + 12) - 2(x^2 - 7x + 12) = x^4 - 7x^3 + 12x^2 - x^3 + 7x^2 - 12x - 2x^2 + 14x - 24$.
Приведем подобные слагаемые:
$P_1(x) = x^4 + (-7-1)x^3 + (12+7-2)x^2 + (-12+14)x - 24 = x^4 - 8x^3 + 17x^2 + 2x - 24$.
Ответ: $P(x) = x^4 - 8x^3 + 17x^2 + 2x - 24$.

2) Заданы корни многочлена: $-1, 0, 1, 2, 3$.
Составим многочлен $P_2(x)$ в виде произведения:
$P_2(x) = (x - (-1))(x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) = x(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)$.
Сгруппируем множители для удобства вычисления:
$P_2(x) = x \cdot [(x - 1)(x + 1)] \cdot [(x - 2)(x - 3)]$.
Раскроем скобки в каждой группе, используя формулу разности квадратов для первой группы:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$P_2(x) = x(x^2 - 1)(x^2 - 5x + 6) = x[x^2(x^2 - 5x + 6) - 1(x^2 - 5x + 6)] = x[x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x^2 + 5x - 6]$.
Приведем подобные слагаемые внутри квадратных скобок:
$P_2(x) = x(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6)$.
Раскроем последнюю скобку, умножив каждый член на $x$:
$P_2(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 6x$.
Ответ: $P(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 6x$.

5.45. Найдите целые корни многочлена и разложите его на множители:

1) $x^3 - 4x^2 - x + 4$;

2) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$.

1) $x^3 - 4x^2 - x + 4$

Чтобы найти целые корни многочлена, воспользуемся следствием из теоремы Безу: если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. Свободный член в данном многочлене равен 4.

Найдём все целые делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Теперь проверим, являются ли эти делители корнями многочлена $P(x) = x^3 - 4x^2 - x + 4$, подставляя их вместо $x$:

$P(1) = 1^3 - 4(1)^2 - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 - (-1) + 4 = -1 - 4 + 1 + 4 = 0$. Следовательно, $x=-1$ является корнем.

$P(4) = 4^3 - 4(4)^2 - 4 + 4 = 64 - 64 - 4 + 4 = 0$. Следовательно, $x=4$ является корнем.

Мы нашли три целых корня: $1, -1, 4$. Поскольку исходный многочлен третьей степени, он не может иметь более трех корней. Мы нашли все корни.

Теперь разложим многочлен на множители. Если $x_1, x_2, x_3$ — корни многочлена, то его можно представить в виде $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, где $a$ — старший коэффициент (в данном случае $a=1$).

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x-1)(x-(-1))(x-4) = (x-1)(x+1)(x-4)$.

Другой способ разложения — метод группировки:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x^3 - 4x^2) + (-x + 4) = x^2(x - 4) - 1(x - 4) = (x^2 - 1)(x - 4) = (x-1)(x+1)(x-4)$.

Ответ: целые корни: $-1, 1, 4$; разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x-4)$.

2) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$

Свободный член многочлена равен 6. Возможные целые корни являются делителями числа 6.

Целые делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим эти числа, подставляя их в многочлен $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$:

$P(1) = 1^4 + 1^3 - 7(1)^2 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$. Следовательно, $x=1$ — корень.

$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 7(-1)^2 - (-1) + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$. Следовательно, $x=-1$ — корень.

$P(2) = 2^4 + 2^3 - 7(2)^2 - 2 + 6 = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0$. Следовательно, $x=2$ — корень.

$P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 - 7(-3)^2 - (-3) + 6 = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$. Следовательно, $x=-3$ — корень.

Мы нашли четыре целых корня: $1, -1, 2, -3$. Многочлен четвертой степени не может иметь более четырех корней. Таким образом, мы нашли все корни.

Разложим многочлен на множители, используя найденные корни:

$x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = (x-1)(x-(-1))(x-2)(x-(-3)) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.

Проверим правильность разложения, перемножив скобки:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x-2)(x+3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$

$(x^2 - 1)(x^2 + x - 6) = x^2(x^2 + x - 6) - 1(x^2 + x - 6) = x^4 + x^3 - 6x^2 - x^2 - x + 6 = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$.

Разложение выполнено верно.

Ответ: целые корни: $-3, -1, 1, 2$; разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.