Страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24. Найдите целые корни и разложите на множители:

1) $x^3 - 7x - 6$;

2) $x^3 + 9x^2 + 11x - 21$;

3) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$;

4) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$;

5) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$;

6) $x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$.

1) $x^3 - 7x - 6$

Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.Свободный член равен $-6$. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Пусть $P(x) = x^3 - 7x - 6$. Проверим делители:
$P(1) = 1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \neq 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
$P(2) = 2^3 - 7(2) - 6 = 8 - 14 - 6 = -12 \neq 0$
$P(-2) = (-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0$. Значит, $x = -2$ — корень.
$P(3) = 3^3 - 7(3) - 6 = 27 - 21 - 6 = 0$. Значит, $x = 3$ — корень.
Мы нашли три целых корня: $-1, -2, 3$. Так как многочлен третьей степени не может иметь более трех корней, это все его корни.
Разложение на множители имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.
$(x - (-1))(x - (-2))(x - 3) = (x+1)(x+2)(x-3)$.
Ответ: Целые корни: $-2, -1, 3$. Разложение на множители: $(x+1)(x+2)(x-3)$.

2) $x^3 + 9x^2 + 11x - 21$

Свободный член равен $-21$. Его целые делители: $\pm1, \pm3, \pm7, \pm21$.
Пусть $P(x) = x^3 + 9x^2 + 11x - 21$. Проверим делители:
$P(1) = 1^3 + 9(1)^2 + 11(1) - 21 = 1 + 9 + 11 - 21 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.
Следовательно, многочлен делится на $(x - 1)$ без остатка. Выполним деление столбиком или по схеме Горнера:
$(x^3 + 9x^2 + 11x - 21) : (x - 1) = x^2 + 10x + 21$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 10x + 21$. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -10$, $x_1 \cdot x_2 = 21$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -7$.
Таким образом, $x^2 + 10x + 21 = (x+3)(x+7)$.
Итоговое разложение: $(x - 1)(x + 3)(x + 7)$.
Целые корни многочлена: $1, -3, -7$.
Ответ: Целые корни: $-7, -3, 1$. Разложение на множители: $(x-1)(x+3)(x+7)$.

3) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$

Свободный член равен $-9$. Его целые делители: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Пусть $P(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 9$. Проверим делители:
$P(1) = 1^3 + 5(1)^2 + 3(1) - 9 = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x - 1)$:
$(x^3 + 5x^2 + 3x - 9) : (x - 1) = x^2 + 6x + 9$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Итоговое разложение: $(x - 1)(x + 3)^2$.
Целые корни многочлена: $1$ и $-3$ (корень кратности 2).
Ответ: Целые корни: $-3, 1$. Разложение на множители: $(x-1)(x+3)^2$.

4) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$

Свободный член равен $15$. Его целые делители: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$.
Так как все коэффициенты многочлена положительны, его положительных корней быть не может. Проверяем отрицательные делители.
Пусть $P(x) = x^3 + 9x^2 + 23x + 15$.
$P(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x + 1)$:
$(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) : (x + 1) = x^2 + 8x + 15$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 15$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -8$, $x_1 \cdot x_2 = 15$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -5$.
Таким образом, $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$.
Итоговое разложение: $(x + 1)(x + 3)(x + 5)$.
Целые корни многочлена: $-1, -3, -5$.
Ответ: Целые корни: $-5, -3, -1$. Разложение на множители: $(x+1)(x+3)(x+5)$.

5) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$

Свободный член равен $4$. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Пусть $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$.
$P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1) + 4 = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4) : (x+1) = x^3 - 3x^2 + 4$.
Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Его возможные целые корни также являются делителями числа $4$: $\pm1, \pm2, \pm4$.
$Q(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Значит, $x = 2$ — корень.
Разделим $Q(x)$ на $(x-2)$:
$(x^3 - 3x^2 + 4) : (x-2) = x^2 - x - 2$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1=2, x_2=-1$.
Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.
Собираем все множители: $P(x) = (x+1)(x-2)(x-2)(x+1) = (x+1)^2(x-2)^2$.
Целые корни многочлена: $-1$ (кратность 2) и $2$ (кратность 2).
Ответ: Целые корни: $-1, 2$. Разложение на множители: $(x+1)^2(x-2)^2$.

6) $x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$

Свободный член равен $-4$. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Пусть $P(x) = x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$.
$P(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4) : (x+1) = x^3 - 7x^2 - 7x - 4$.
Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^3 - 7x^2 - 7x - 4$. Его возможные целые корни также являются делителями числа $-4$: $\pm1, \pm2, \pm4$.
$Q(1) = 1-7-7-4 = -17 \neq 0$
$Q(-1) = -1-7+7-4 = -5 \neq 0$
$Q(2) = 8 - 28 - 14 - 4 = -38 \neq 0$
$Q(-2) = -8 - 28 + 14 - 4 = -26 \neq 0$
$Q(4) = 64 - 112 - 28 - 4 = -80 \neq 0$
$Q(-4) = -64 - 112 + 28 - 4 = -152 \neq 0$
Многочлен $Q(x)$ не имеет целых корней. Следовательно, исходный многочлен имеет только один целый корень.
Разложение на множители над полем рациональных чисел на этом завершено.
Ответ: Целый корень: $-1$. Разложение на множители: $(x+1)(x^3 - 7x^2 - 7x - 4)$.

5.25. Определите целые корни:

1) $x^5 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 10;$

2) $x^5 - 4x^3 + 4x^2 + 5x - 6;$

3) $x^4 + 3x^3 - 12x^2 - 38x - 24;$

4) $x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4.$

1) Для нахождения целых корней многочлена $P(x) = x^5 - 2x^3 - 8x^2 + 13x - 10$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. Свободный член равен $-10$. Его целые делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$. Проверим эти значения.
При $x = 1$: $P(1) = 1 - 2 - 8 + 13 - 10 = -6 \neq 0$.
При $x = -1$: $P(-1) = -1 + 2 - 8 - 13 - 10 = -30 \neq 0$.
При $x = 2$: $P(2) = 2^5 - 2(2^3) - 8(2^2) + 13(2) - 10 = 32 - 16 - 32 + 26 - 10 = 0$.
Таким образом, $x=2$ является корнем многочлена. Разделим многочлен $P(x)$ на двучлен $(x-2)$, например, используя схему Горнера:

В результате деления получаем многочлен $Q(x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 4x + 5$. Теперь ищем целые корни этого многочлена. Его возможные целые корни являются делителями свободного члена 5, то есть $\pm 1, \pm 5$.
При $x = 1$: $Q(1) = 1 + 2 + 2 - 4 + 5 = 6 \neq 0$.
При $x = -1$: $Q(-1) = 1 - 2 + 2 + 4 + 5 = 10 \neq 0$.
При $x = 5$: $Q(5) = 625 + 250 + 50 - 20 + 5 = 910 \neq 0$.
При $x = -5$: $Q(-5) = 625 - 250 + 50 + 20 + 5 = 450 \neq 0$.
Многочлен $Q(x)$ не имеет целых корней. Следовательно, единственный целый корень исходного многочлена - это $x=2$.
Ответ: 2.

2) Рассмотрим многочлен $P(x) = x^5 - 4x^3 + 4x^2 + 5x - 6$. Возможные целые корни являются делителями свободного члена $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
При $x = 1$: $P(1) = 1 - 4 + 4 + 5 - 6 = 0$. Значит, $x=1$ - корень.
Разделим $P(x)$ на $(x-1)$ и получим $x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 6$.
Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 6$. Его возможные целые корни - делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
При $x = 1$: $Q(1) = 1+1-3+1+6 = 6 \neq 0$.
При $x = -1$: $Q(-1) = 1-1-3-1+6 = 2 \neq 0$.
При $x = 2$: $Q(2) = 16+8-12+2+6 = 20 \neq 0$.
При $x = -2$: $Q(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 - 3(-2)^2 + (-2) + 6 = 16 - 8 - 12 - 2 + 6 = 0$. Значит, $x=-2$ - корень.
Разделим $Q(x)$ на $(x+2)$ и получим $x^3 - x^2 - x + 3$.
Теперь ищем корни многочлена $R(x) = x^3 - x^2 - x + 3$. Возможные целые корни - делители числа 3: $\pm 1, \pm 3$.
При $x = 1$: $R(1) = 1-1-1+3=2 \neq 0$.
При $x = -1$: $R(-1) = -1-1+1+3=2 \neq 0$.
При $x = 3$: $R(3) = 27-9-3+3=18 \neq 0$.
При $x = -3$: $R(-3) = -27-9+3+3=-30 \neq 0$.
Больше целых корней нет.
Ответ: 1, -2.

3) Рассмотрим многочлен $P(x) = x^4 + 3x^3 - 12x^2 - 38x - 24$. Возможные целые корни - делители свободного члена $-24$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$.
При $x = -1$: $P(-1) = 1 - 3 - 12 + 38 - 24 = 0$. Значит, $x=-1$ - корень.
Разделим $P(x)$ на $(x+1)$, получим $x^3 + 2x^2 - 14x - 24$.
Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 14x - 24$. Его возможные целые корни - делители числа $-24$.
При $x = -2$: $Q(-2) = -8+8+28-24 = 4 \neq 0$.
При $x = -3$: $Q(-3) = -27+18+42-24 = 9 \neq 0$.
При $x = -4$: $Q(-4) = (-4)^3 + 2(-4)^2 - 14(-4) - 24 = -64 + 32 + 56 - 24 = 0$. Значит, $x=-4$ - корень.
Разделим $Q(x)$ на $(x+4)$, получим $x^2 - 2x - 6$.
Оставшиеся корни являются решениями квадратного уравнения $x^2 - 2x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 4 + 24 = 28$.
Корни: $x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$. Эти корни не являются целыми.
Ответ: -1, -4.

4) Рассмотрим многочлен $P(x) = x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$. Возможные целые корни - делители свободного члена $-4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
При $x = 1$: $P(1) = 1 - 6 - 14 - 11 - 4 = -34 \neq 0$.
При $x = -1$: $P(-1) = 1 - 6(-1) - 14(1) - 11(-1) - 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0$. Значит, $x=-1$ - корень.
Разделим $P(x)$ на $(x+1)$, получим $x^3 - 7x^2 - 7x - 4$.
Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^3 - 7x^2 - 7x - 4$. Его возможные целые корни - делители числа $-4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
При $x = -1$: $Q(-1) = -1 - 7(1) - 7(-1) - 4 = -1 - 7 + 7 - 4 = -5 \neq 0$.
При $x = 2$: $Q(2) = 8 - 7(4) - 7(2) - 4 = 8 - 28 - 14 - 4 = -38 \neq 0$.
При $x = -2$: $Q(-2) = -8 - 7(4) - 7(-2) - 4 = -8 - 28 + 14 - 4 = -26 \neq 0$.
При $x = 4$: $Q(4) = 64 - 7(16) - 7(4) - 4 = 64 - 112 - 28 - 4 = -80 \neq 0$.
При $x = -4$: $Q(-4) = -64 - 7(16) - 7(-4) - 4 = -64 - 112 + 28 - 4 = -152 \neq 0$.
Больше целых корней нет.
Ответ: -1.

5.26. Разложите на множители:

1) $x^3 - x^2 - x - 2;$

2) $x^3 - 6x^2 - x + 30.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3 - x^2 - x - 2$, воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена. В нашем случае свободный член равен -2.

Делители числа -2: $\pm1, \pm2$.

Проверим эти значения, подставляя их в многочлен $P(x) = x^3 - x^2 - x - 2$:

$P(1) = 1^3 - 1^2 - 1 - 2 = 1 - 1 - 1 - 2 = -3 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) - 2 = -1 - 1 + 1 - 2 = -3 \neq 0$

$P(2) = 2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$

Поскольку $P(2) = 0$, то $x=2$ является корнем многочлена, а значит $(x-2)$ — один из его множителей.

Теперь разложим многочлен на множители, используя метод группировки. Для этого представим некоторые члены многочлена в виде суммы или разности так, чтобы можно было вынести общий множитель $(x-2)$:

$x^3 - x^2 - x - 2 = x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x + x - 2$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) + (x^2 - 2x) + (x - 2) = x^2(x - 2) + x(x - 2) + 1(x - 2)$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 + x + 1)$

Теперь проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Следовательно, разложение многочлена завершено.

Ответ: $(x - 2)(x^2 + x + 1)$

2) Разложим на множители многочлен $x^3 - 6x^2 - x + 30$.

Найдем целые корни среди делителей свободного члена 30: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.

Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $Q(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$:

$Q(1) = 1 - 6 - 1 + 30 = 24 \neq 0$

$Q(-1) = -1 - 6 + 1 + 30 = 24 \neq 0$

$Q(2) = 8 - 24 - 2 + 30 = 12 \neq 0$

$Q(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 6(4) + 2 + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0$

Так как $Q(-2)=0$, то $x=-2$ является корнем, а $(x+2)$ — множителем многочлена.

Выполним разложение методом группировки, выделяя множитель $(x+2)$:

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 2x^2) - (8x^2 + 16x) + (15x + 30) = x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 8x + 15)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 15$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: это 3 и 5.Таким образом, $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Окончательное разложение исходного многочлена имеет вид:

$(x + 2)(x - 3)(x - 5)$

Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x - 5)$

5.27. Разложите на множители:

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15;$

2) $(x - 1)^3 + (2x + 3)^3 = 27x^3 + 8;$

3) $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) - 2;$

4) $x^8 - 15x^4 - 16.$

1) Для разложения многочлена $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$ на множители воспользуемся методом группировки, представив некоторые члены в виде суммы.

$x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = x^3 + x^2 + 8x^2 + 8x + 15x + 15$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) + (8x^2 + 8x) + (15x + 15) = x^2(x+1) + 8x(x+1) + 15(x+1)$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2 + 8x + 15)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 15$. Для этого найдем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна 8. Эти числа — 3 и 5.

$x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$

Таким образом, итоговое разложение имеет вид:

$(x+1)(x+3)(x+5)$

Ответ: $(x+1)(x+3)(x+5)$

2) Заданное равенство $(x - 1)^3 + (2x + 3)^3 = 27x^3 + 8$ преобразуем в выражение, которое нужно разложить на множители, перенеся правую часть налево:

$(x - 1)^3 + (2x + 3)^3 - (27x^3 + 8)$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для каждой пары слагаемых.

Сначала для $(x-1)^3 + (2x+3)^3$:

$a = x-1, b = 2x+3$

$a+b = (x-1) + (2x+3) = 3x+2$

$a^2-ab+b^2 = (x-1)^2 - (x-1)(2x+3) + (2x+3)^2 = (x^2-2x+1) - (2x^2+x-3) + (4x^2+12x+9) = 3x^2+9x+13$

Таким образом, $(x-1)^3+(2x+3)^3 = (3x+2)(3x^2+9x+13)$.

Теперь разложим $27x^3+8$:

$27x^3+8 = (3x)^3 + 2^3 = (3x+2)((3x)^2 - 3x \cdot 2 + 2^2) = (3x+2)(9x^2-6x+4)$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(3x+2)(3x^2+9x+13) - (3x+2)(9x^2-6x+4)$

Вынесем общий множитель $(3x+2)$:

$(3x+2)[(3x^2+9x+13) - (9x^2-6x+4)] = (3x+2)(3x^2+9x+13 - 9x^2+6x-4) = (3x+2)(-6x^2+15x+9)$

Вынесем из второй скобки множитель $-3$:

$-3(3x+2)(2x^2-5x-3)$

Разложим на множители квадратный трехчлен $2x^2-5x-3$. Корни уравнения $2x^2-5x-3=0$ равны $x_1=3$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

$2x^2-5x-3 = 2(x-3)(x+\frac{1}{2}) = (x-3)(2x+1)$.

Итоговое разложение:

$-3(3x+2)(x-3)(2x+1)$

Ответ: $-3(x-3)(2x+1)(3x+2)$

3) Раскроем скобки в выражении $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) - 2$ и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 + 2x + x^2 + 2) + (x^3 + x + 2x^2 + 2) - 2 = x^3+x^2+2x+2+x^3+2x^2+x+2-2 = 2x^3 + 3x^2 + 3x + 2$

Для разложения полученного многочлена $2x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ на множители применим метод группировки:

$(2x^3 + 2) + (3x^2 + 3x) = 2(x^3+1) + 3x(x+1)$

Используем формулу суммы кубов $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$:

$2(x+1)(x^2-x+1) + 3x(x+1)$

Вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x+1)[2(x^2-x+1) + 3x] = (x+1)(2x^2-2x+2+3x) = (x+1)(2x^2+x+2)$

Квадратный трехчлен $2x^2+x+2$ не разлагается на множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 < 0$.

Ответ: $(x+1)(2x^2+x+2)$

4) Данное выражение $x^8 - 15x^4 - 16$ является биквадратным относительно $x^4$. Сделаем замену $y = x^4$:

$y^2 - 15y - 16$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -16, а сумма -15. Это числа -16 и 1.

$y^2 - 15y - 16 = (y-16)(y+1)$

Вернемся к переменной $x$:

$(x^4-16)(x^4+1)$

Разложим на множители каждый из полученных двучленов.

Первый множитель $x^4-16$ — это разность квадратов:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2-4)(x^2+4)$

Множитель $x^2-4$ также является разностью квадратов:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

Множитель $x^2+4$ не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Второй множитель $x^4+1$ разложим методом выделения полного квадрата:

$x^4+1 = (x^4+2x^2+1) - 2x^2 = (x^2+1)^2 - (\sqrt{2}x)^2$

Теперь применяем формулу разности квадратов:

$(x^2+1 - \sqrt{2}x)(x^2+1 + \sqrt{2}x) = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Соберем все множители вместе:

$(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

5.28. Один из корней многочлена:

1) $x^3 + ax^2 - 5x + 6$ равен 3;

2) $x^3 - x^2 + ax + 12$ равен -3. Найдите остальные корни.

1) Дан многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 - 5x + 6$. Известно, что один из его корней, $x_1$, равен 3.
По определению корня, значение многочлена в этой точке равно нулю: $P(x_1) = 0$. Подставим $x_1 = 3$ в уравнение многочлена, чтобы найти неизвестный коэффициент $a$:
$P(3) = 3^3 + a \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0$
$27 + 9a - 15 + 6 = 0$
$18 + 9a = 0$
$9a = -18$
$a = -2$
Таким образом, многочлен имеет вид: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.
Поскольку $x_1 = 3$ является корнем, то согласно теореме Безу, многочлен делится на двучлен $(x - 3)$ без остатка. Выполним деление многочлена на $(x - 3)$ для нахождения частного, которое будет квадратным трехчленом.
$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 3) = x^2 + x - 2$
Теперь исходное уравнение можно записать в виде произведения:
$(x - 3)(x^2 + x - 2) = 0$
Остальные корни являются решениями квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.
Найдем их, используя формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
$x_3 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
Ответ: $1$ и $-2$.

2) Дан многочлен $P(x) = x^3 - x^2 + ax + 12$. Известно, что один из его корней, $x_1$, равен -3.
Подставим $x_1 = -3$ в уравнение $P(x) = 0$, чтобы найти коэффициент $a$:
$P(-3) = (-3)^3 - (-3)^2 + a \cdot (-3) + 12 = 0$
$-27 - 9 - 3a + 12 = 0$
$-24 - 3a = 0$
$-3a = 24$
$a = -8$
Таким образом, многочлен имеет вид: $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$.
Поскольку $x_1 = -3$ является корнем, многочлен делится на двучлен $(x - (-3)) = (x+3)$ без остатка. Выполним деление:
$(x^3 - x^2 - 8x + 12) \div (x + 3) = x^2 - 4x + 4$
Исходное уравнение можно записать в виде произведения:
$(x + 3)(x^2 - 4x + 4) = 0$
Остальные корни являются решениями квадратного уравнения $x^2 - 4x + 4 = 0$.
Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом:
$(x - 2)^2 = 0$
Это уравнение имеет один корень $x = 2$, кратность которого равна 2. Это означает, что два оставшихся корня исходного многочлена равны между собой и равны 2.
Ответ: $2$ и $2$.

5.29. Докажите, что при каждом четном натуральном $n$ значение многочлена $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 240.

Для доказательства того, что при каждом четном натуральном $n$ значение многочлена $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 240, сначала преобразуем данный многочлен, разложив его на множители.

Разложение многочлена на множители.
$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)$.
Выражение в скобках $n^4 - 5n^2 + 4$ является биквадратным трехчленом. Разложим его на множители, рассматривая как квадратный трехчлен относительно $n^2$: $n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4)$.
Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к обоим множителям, получим: $(n^2 - 1)(n^2 - 4) = (n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.
Следовательно, исходный многочлен можно представить в виде произведения пяти последовательных целых чисел: $n^5 - 5n^3 + 4n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.

Доказательство делимости на 240.
Число 240 можно разложить на взаимно простые множители: $240 = 16 \cdot 3 \cdot 5$.
Чтобы доказать, что выражение делится на 240, достаточно доказать его делимость на 16, 3 и 5 по отдельности.

Делимость на 3 и 5.
Выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ является произведением пяти последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно делится на 3, а среди любых пяти последовательных целых чисел одно делится на 5. Следовательно, их произведение всегда делится на $3$ и на $5$ для любого натурального $n$.

Делимость на 16.
Здесь мы используем условие, что $n$ — четное натуральное число. Представим $n$ в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$).
Подставим это в наше выражение: $(2k-2)(2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2) = 2(k-1) \cdot (2k-1) \cdot 2k \cdot (2k+1) \cdot 2(k+1)$.
Сгруппируем множители 2: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (k-1)k(k+1)(2k-1)(2k+1) = 8 \cdot (k-1)k(k+1)(2k-1)(2k+1)$.
Рассмотрим произведение $(k-1)k(k+1)$ — это произведение трех последовательных целых чисел. В таком произведении всегда есть хотя бы одно четное число, поэтому $(k-1)k(k+1)$ делится на 2.
Значит, все выражение содержит множитель 8 и еще один множитель 2 (из произведения $(k-1)k(k+1)$), то есть оно делится на $8 \cdot 2 = 16$.

Заключение.
Поскольку мы доказали, что при любом четном натуральном $n$ выражение делится на 3, 5 и 16, а эти числа взаимно просты, оно делится и на их произведение $3 \cdot 5 \cdot 16 = 240$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что при каждом четном натуральном $n$ значение многочлена $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 240, доказано.

5.30. Докажите, что для каждого нечетного $x = 4n + 1$ значение многочлена $x^3 + 3x^2 - x - 3$ делится на 48.

Для доказательства утверждения, сначала упростим выражение многочлена $x^3 + 3x^2 - x - 3$, разложив его на множители. Сгруппируем слагаемые:

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = (x^3 + 3x^2) - (x + 3) = x^2(x+3) - 1(x+3) = (x^2-1)(x+3)$.

Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к множителю $(x^2-1)$, получаем окончательное разложение:

$(x-1)(x+1)(x+3)$.

По условию задачи, $x$ является нечетным числом вида $x = 4n + 1$, где $n$ — некоторое целое число. Подставим это значение в разложенный многочлен:

$((4n+1)-1)((4n+1)+1)((4n+1)+3) = (4n)(4n+2)(4n+4)$.

Теперь упростим полученное произведение, вынеся общие множители из каждой скобки:

$(4n)(2(2n+1))(4(n+1)) = 4 \cdot n \cdot 2 \cdot (2n+1) \cdot 4 \cdot (n+1) = 32 \cdot n(n+1)(2n+1)$.

Нам необходимо доказать, что выражение $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$ делится на 48. Для этого нужно показать, что оно делится на 3 и на 16 (так как $48=3 \cdot 16$ и числа 3 и 16 взаимно простые).

1. Делимость на 16. Выражение содержит множитель 32, а $32 = 2 \cdot 16$. Следовательно, выражение $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$ всегда делится на 16.

2. Делимость на 3. Необходимо доказать, что произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 3 при любом целом $n$. Рассмотрим три возможных случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3:

- Если $n$ делится на 3 (то есть $n=3k$ для некоторого целого $k$), то все произведение $n(n+1)(2n+1)$ очевидно делится на 3.

- Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (то есть $n=3k+1$), то множитель $2n+1$ равен $2(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$, что делится на 3. Следовательно, и все произведение делится на 3.

- Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (то есть $n=3k+2$), то множитель $n+1$ равен $(3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$, что делится на 3. Следовательно, и все произведение делится на 3.

Таким образом, при любом целом $n$ произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 3.

Поскольку выражение $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$ делится и на 16, и на 3, оно делится на их произведение $16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что значение многочлена $x^3 + 3x^2 - x - 3$ для $x = 4n+1$ равно $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$, а это выражение всегда делится на 48.

5.31. При каком значении $k$ многочлен $x^3 + 6x^2 + kx + 12$ делится на двучлен $x + 4$ без остатка?

Для того чтобы многочлен $P(x) = x^3 + 6x^2 + kx + 12$ делился на двучлен $x + 4$ без остатка, необходимо и достаточно, чтобы значение многочлена в корне двучлена было равно нулю. Это утверждение известно как теорема Безу (следствие из теоремы о делении многочленов с остатком).

Сначала найдем корень двучлена $x + 4$, приравняв его к нулю:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Теперь подставим это значение $x = -4$ в исходный многочлен $P(x)$ и приравняем результат к нулю, так как по условию деление должно происходить без остатка:

$P(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + k(-4) + 12 = 0$

Выполним вычисления и решим полученное уравнение относительно $k$:

$-64 + 6(16) - 4k + 12 = 0$

$-64 + 96 - 4k + 12 = 0$

Сгруппируем числовые слагаемые:

$(96 - 64) + 12 - 4k = 0$

$32 + 12 - 4k = 0$

$44 - 4k = 0$

Перенесем слагаемое с $k$ в правую часть:

$44 = 4k$

Найдем $k$:

$k = \frac{44}{4}$

$k = 11$

Таким образом, при значении $k = 11$ многочлен делится на двучлен $x + 4$ без остатка.

Ответ: 11

5.32. При каких значениях $a$ и $b$ первый многочлен делится без остатка на второй многочлен:

1) $x^4 + 3x^3 - 2x^2 + ax + b$ на $x^2 - 3x + 2;$

2) $x^3 - 2x^2 + ax + b$ на $x^2 - x + 1?$

1) Чтобы первый многочлен $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + ax + b$ делился без остатка на второй многочлен $Q(x) = x^2 - 3x + 2$, необходимо, чтобы корни многочлена $Q(x)$ были также и корнями многочлена $P(x)$.

Сначала найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Используя теорему Виета (или формулу для корней квадратного уравнения), находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Поскольку $P(x)$ делится на $Q(x)$, то $P(x)$ должно обращаться в ноль при значениях $x$, равных корням $Q(x)$. Таким образом, должны выполняться условия $P(1) = 0$ и $P(2) = 0$.

Подставим $x=1$ в многочлен $P(x)$:
$P(1) = 1^4 + 3(1)^3 - 2(1)^2 + a(1) + b = 0$
$1 + 3 - 2 + a + b = 0$
$2 + a + b = 0$
$a + b = -2$

Подставим $x=2$ в многочлен $P(x)$:
$P(2) = 2^4 + 3(2)^3 - 2(2)^2 + a(2) + b = 0$
$16 + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2a + b = 0$
$16 + 24 - 8 + 2a + b = 0$
$32 + 2a + b = 0$
$2a + b = -32$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = -2 \\ 2a + b = -32 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:
$(2a + b) - (a + b) = -32 - (-2)$
$a = -30$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:
$-30 + b = -2$
$b = 28$

Таким образом, многочлен делится без остатка при $a = -30$ и $b = 28$.

Ответ: $a = -30, b = 28$.

2) Чтобы многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$ делился нацело на $Q(x) = x^2 - x + 1$, результат деления должен быть многочленом, а остаток должен быть равен нулю. Так как степень делимого $P(x)$ равна 3, а степень делителя $Q(x)$ равна 2, частное будет многочленом первой степени. Обозначим это частное как $cx + d$.

Тогда должно выполняться тождество:
$x^3 - 2x^2 + ax + b \equiv (x^2 - x + 1)(cx + d)$

Раскроем скобки в правой части выражения:
$(x^2 - x + 1)(cx + d) = cx^3 + dx^2 - cx^2 - dx + cx + d = cx^3 + (d - c)x^2 + (c - d)x + d$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях тождества:

• При $x^3$: $1 = c$
• При $x^2$: $-2 = d - c$
• При $x$: $a = c - d$
• Свободный член: $b = d$

Из первого уравнения сразу получаем $c = 1$.
Подставим $c = 1$ во второе уравнение: $-2 = d - 1$, откуда находим $d = -1$.
Теперь можем найти значения $a$ и $b$:
$a = c - d = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
$b = d = -1$

Следовательно, деление без остатка возможно при $a = 2$ и $b = -1$.

Ответ: $a = 2, b = -1$.

5.33* Определите остаток от деления любого многочлена $f(x)$ на двучлен $x - a$.

Для определения остатка от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x - a$ воспользуемся общей теоремой о делении многочленов с остатком. Согласно этой теореме, для любого многочлена $f(x)$ (делимое) и ненулевого многочлена $g(x)$ (делитель) существуют единственные многочлены $q(x)$ (частное) и $r(x)$ (остаток), такие, что выполняется равенство:
$f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
причем степень многочлена-остатка $r(x)$ строго меньше степени многочлена-делителя $g(x)$.

В данном случае делителем является двучлен $g(x) = x - a$. Степень этого двучлена равна 1.Следовательно, степень остатка $r(x)$ должна быть меньше 1. Единственный многочлен, степень которого меньше 1, — это константа (число). Обозначим этот остаток буквой $R$.

Таким образом, равенство для деления $f(x)$ на $x - a$ можно записать в виде:
$f(x) = (x - a) \cdot q(x) + R$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения переменной $x$. Чтобы найти значение константы $R$, подставим в это тождество значение $x = a$:
$f(a) = (a - a) \cdot q(a) + R$
$f(a) = 0 \cdot q(a) + R$
$f(a) = 0 + R$
$f(a) = R$

Таким образом, мы доказали, что остаток $R$ от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$. Этот результат известен как теорема Безу.

Ответ: Остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x - a$ равен $f(a)$.

5.34. Решите уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$ графическим способом.

Для того чтобы решить уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$ графическим способом, необходимо построить график функции $y = x^2 - 2x + 3$ и найти точки его пересечения с осью абсцисс (осью Ox).

Графиком функции $y = x^2 - 2x + 3$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля ($a=1 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=-2, c=3$.$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Ордината вершины находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:$y_в = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.

Для построения графика найдем еще несколько точек, принадлежащих параболе.

• При $x = 0$, $y = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$. Точка $(2; 3)$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$. Точка $(-1; 6)$.
• При $x = 3$, $y = 3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$. Точка $(3; 6)$.

Построим график функции.

Из графика видно, что парабола $y = x^2 - 2x + 3$ полностью расположена в верхней полуплоскости, над осью Ox, и не имеет с ней точек пересечения. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых $y$ равен нулю.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

5.35. Решите неравенства:

1) $|x-3|\le4$;

2) $2x^2+3x-5>0$.

1) Решим неравенство $|x-3| \le 4$.

Это неравенство с модулем. Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применим это правило к нашему случаю:

$-4 \le x-3 \le 4$

Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-4 + 3 \le x - 3 + 3 \le 4 + 3$

$-1 \le x \le 7$

Решением является промежуток от -1 до 7, включая концы.

Ответ: $x \in [-1; 7]$.

2) Решим неравенство $2x^2 + 3x - 5 > 0$.

Это квадратное неравенство. Для его решения используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Корни уравнения $x_1 = -2.5$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения $2x^2 + 3x - 5$ в каждом из этих интервалов. Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Следовательно, выражение положительно вне интервала между корнями и отрицательно внутри него.

Нас интересуют значения $x$, при которых $2x^2 + 3x - 5 > 0$. Поскольку неравенство строгое, точки $x=-2.5$ и $x=1$ не включаются в решение. Согласно схеме, выражение положительно на интервалах $(-\infty; -2.5)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (1; +\infty)$.