Номер 5.28, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.28. Один из корней многочлена:

1) $x^3 + ax^2 - 5x + 6$ равен 3;

2) $x^3 - x^2 + ax + 12$ равен -3. Найдите остальные корни.

1) Дан многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 - 5x + 6$. Известно, что один из его корней, $x_1$, равен 3.
По определению корня, значение многочлена в этой точке равно нулю: $P(x_1) = 0$. Подставим $x_1 = 3$ в уравнение многочлена, чтобы найти неизвестный коэффициент $a$:
$P(3) = 3^3 + a \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0$
$27 + 9a - 15 + 6 = 0$
$18 + 9a = 0$
$9a = -18$
$a = -2$
Таким образом, многочлен имеет вид: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.
Поскольку $x_1 = 3$ является корнем, то согласно теореме Безу, многочлен делится на двучлен $(x - 3)$ без остатка. Выполним деление многочлена на $(x - 3)$ для нахождения частного, которое будет квадратным трехчленом.
$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 3) = x^2 + x - 2$
Теперь исходное уравнение можно записать в виде произведения:
$(x - 3)(x^2 + x - 2) = 0$
Остальные корни являются решениями квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.
Найдем их, используя формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
$x_3 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
Ответ: $1$ и $-2$.

2) Дан многочлен $P(x) = x^3 - x^2 + ax + 12$. Известно, что один из его корней, $x_1$, равен -3.
Подставим $x_1 = -3$ в уравнение $P(x) = 0$, чтобы найти коэффициент $a$:
$P(-3) = (-3)^3 - (-3)^2 + a \cdot (-3) + 12 = 0$
$-27 - 9 - 3a + 12 = 0$
$-24 - 3a = 0$
$-3a = 24$
$a = -8$
Таким образом, многочлен имеет вид: $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$.
Поскольку $x_1 = -3$ является корнем, многочлен делится на двучлен $(x - (-3)) = (x+3)$ без остатка. Выполним деление:
$(x^3 - x^2 - 8x + 12) \div (x + 3) = x^2 - 4x + 4$
Исходное уравнение можно записать в виде произведения:
$(x + 3)(x^2 - 4x + 4) = 0$
Остальные корни являются решениями квадратного уравнения $x^2 - 4x + 4 = 0$.
Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом:
$(x - 2)^2 = 0$
Это уравнение имеет один корень $x = 2$, кратность которого равна 2. Это означает, что два оставшихся корня исходного многочлена равны между собой и равны 2.
Ответ: $2$ и $2$.