Номер 5.30, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Докажите, что для каждого нечетного $x = 4n + 1$ значение многочлена $x^3 + 3x^2 - x - 3$ делится на 48.

Для доказательства утверждения, сначала упростим выражение многочлена $x^3 + 3x^2 - x - 3$, разложив его на множители. Сгруппируем слагаемые:

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = (x^3 + 3x^2) - (x + 3) = x^2(x+3) - 1(x+3) = (x^2-1)(x+3)$.

Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к множителю $(x^2-1)$, получаем окончательное разложение:

$(x-1)(x+1)(x+3)$.

По условию задачи, $x$ является нечетным числом вида $x = 4n + 1$, где $n$ — некоторое целое число. Подставим это значение в разложенный многочлен:

$((4n+1)-1)((4n+1)+1)((4n+1)+3) = (4n)(4n+2)(4n+4)$.

Теперь упростим полученное произведение, вынеся общие множители из каждой скобки:

$(4n)(2(2n+1))(4(n+1)) = 4 \cdot n \cdot 2 \cdot (2n+1) \cdot 4 \cdot (n+1) = 32 \cdot n(n+1)(2n+1)$.

Нам необходимо доказать, что выражение $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$ делится на 48. Для этого нужно показать, что оно делится на 3 и на 16 (так как $48=3 \cdot 16$ и числа 3 и 16 взаимно простые).

1. Делимость на 16. Выражение содержит множитель 32, а $32 = 2 \cdot 16$. Следовательно, выражение $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$ всегда делится на 16.

2. Делимость на 3. Необходимо доказать, что произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 3 при любом целом $n$. Рассмотрим три возможных случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3:

- Если $n$ делится на 3 (то есть $n=3k$ для некоторого целого $k$), то все произведение $n(n+1)(2n+1)$ очевидно делится на 3.

- Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (то есть $n=3k+1$), то множитель $2n+1$ равен $2(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$, что делится на 3. Следовательно, и все произведение делится на 3.

- Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (то есть $n=3k+2$), то множитель $n+1$ равен $(3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$, что делится на 3. Следовательно, и все произведение делится на 3.

Таким образом, при любом целом $n$ произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 3.

Поскольку выражение $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$ делится и на 16, и на 3, оно делится на их произведение $16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что значение многочлена $x^3 + 3x^2 - x - 3$ для $x = 4n+1$ равно $32 \cdot n(n+1)(2n+1)$, а это выражение всегда делится на 48.