Вопросы, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите общий вид многочлена n-й степени. Укажите старший член и свободный член.

Общий вид многочлена n-й степени: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$.

Старший член: $a_n x^n$.

Свободный член: $a_0$.

2. Сформулируйте и докажите теорему о делении многочлена на многочлен.

3. Сформулируйте и докажите теорему Безу и ее следствия.

4. На примере поясните смысл схемы Горнера.

5. Напишите формулу Виета для многочленов 2-й, 3-й и 4-й степени.

Для многочлена 2-й степени: $ax^2 + bx + c = 0$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Для многочлена 3-й степени: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$

$x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}$

Для многочлена 4-й степени: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$

$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = \frac{c}{a}$

$x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -\frac{d}{a}$

$x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a}$

6. Как используется метод неопределенных коэффициентов? Объясните это на примере.

1. Напишите общий вид многочлена n-й степени. Укажите старший член и свободный член.
Многочлен $n$-й степени от одной переменной $x$ — это выражение вида:
$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем коэффициент $a_n$ не равен нулю ($a_n \neq 0$). Число $n$ является натуральным числом или нулем и называется степенью многочлена.

Старший член многочлена — это слагаемое с наибольшей степенью переменной. Для многочлена $P_n(x)$ старшим членом является $a_n x^n$.

Свободный член многочлена — это слагаемое, не содержащее переменной (член нулевой степени). Для многочлена $P_n(x)$ свободным членом является $a_0$.

Ответ: Общий вид многочлена $n$-й степени: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n \neq 0$. Старший член: $a_n x^n$. Свободный член: $a_0$.

2. Сформулируйте и докажите теорему о делении многочлена на многочлен.
Формулировка теоремы (о делении с остатком):
Для любых двух многочленов $P(x)$ (делимое) и $D(x)$ (делитель), где $D(x)$ не является нулевым многочленом, существуют и притом единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что выполняется равенство:
$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$
причем степень многочлена $R(x)$ строго меньше степени многочлена $D(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.

Доказательство:
Пусть степень $P(x)$ равна $n$, а степень $D(x)$ равна $m$.
$P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$
$D(x) = b_m x^m + \dots + b_0$, ($b_m \neq 0$).

1. Доказательство существования.
Если $n < m$, то можно положить $Q(x) = 0$ и $R(x) = P(x)$. Условие $\text{deg}(R) < \text{deg}(D)$ выполнено.Если $n \geq m$, применим индукцию по степени $n$ многочлена $P(x)$.
База индукции: Если $n=0$, то $m$ тоже должно быть $0$. $P(x)=a_0, D(x)=b_0$. Тогда $Q(x) = a_0/b_0$ и $R(x)=0$. Условие выполнено.
Шаг индукции: Предположим, что теорема верна для всех многочленов $P(x)$ со степенью меньше $n$. Рассмотрим многочлен $P(x)$ степени $n \geq m$.
Составим многочлен $P_1(x)$:$P_1(x) = P(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x)$
Старший член $P(x)$ равен $a_n x^n$. Старший член $\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x)$ равен $\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} \cdot b_m x^m = a_n x^n$. При вычитании старшие члены уничтожаются, поэтому степень многочлена $P_1(x)$ строго меньше $n$.
По предположению индукции, для $P_1(x)$ существуют $Q_1(x)$ и $R(x)$ такие, что $P_1(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + R(x)$, где $\text{deg}(R) < m$.
Подставим выражение для $P_1(x)$ обратно:$P(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + R(x)$
$P(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} D(x) + R(x)$
$P(x) = D(x) \cdot \left(Q_1(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}\right) + R(x)$
Обозначив $Q(x) = Q_1(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}$, мы получаем искомое представление. Существование доказано.

2. Доказательство единственности.
Предположим, что существует две пары многочленов $(Q_1(x), R_1(x))$ и $(Q_2(x), R_2(x))$:
$P(x) = D(x) \cdot Q_1(x) + R_1(x)$, где $\text{deg}(R_1) < m$
$P(x) = D(x) \cdot Q_2(x) + R_2(x)$, где $\text{deg}(R_2) < m$
Приравняем правые части:$D(x) \cdot Q_1(x) + R_1(x) = D(x) \cdot Q_2(x) + R_2(x)$
$D(x) \cdot (Q_1(x) - Q_2(x)) = R_2(x) - R_1(x)$
Степень левой части, если $Q_1(x) \neq Q_2(x)$, равна $\text{deg}(D) + \text{deg}(Q_1 - Q_2) \geq m$.
Степень правой части $\text{deg}(R_2 - R_1)$ строго меньше $m$, так как $\text{deg}(R_1) < m$ и $\text{deg}(R_2) < m$.
Равенство многочленов с разными степенями возможно только если оба они являются нулевыми многочленами.Следовательно, $R_2(x) - R_1(x) = 0$, и $D(x) \cdot (Q_1(x) - Q_2(x)) = 0$.
Так как $D(x)$ — не нулевой многочлен, то $Q_1(x) - Q_2(x) = 0$.
Таким образом, $Q_1(x) = Q_2(x)$ и $R_1(x) = R_2(x)$. Единственность доказана.

Ответ: Теорема утверждает, что для любых многочленов $P(x)$ и $D(x) \not\equiv 0$ существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ и степень $R(x)$ меньше степени $D(x)$.

3. Сформулируйте и докажите теорему Безу и ее следствия.
Формулировка теоремы Безу:
Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $R = P(c)$.

Доказательство:
Согласно теореме о делении многочлена на многочлен, при делении $P(x)$ на двучлен $D(x) = x-c$ мы можем записать:
$P(x) = (x-c) \cdot Q(x) + R(x)$
Степень делителя $D(x)=x-c$ равна 1. Следовательно, степень остатка $R(x)$ должна быть строго меньше 1, то есть $R(x)$ является многочленом нулевой степени или нулевым многочленом. Это означает, что остаток $R$ есть некоторое число (константа).
$P(x) = (x-c) \cdot Q(x) + R$
Подставим в это равенство значение $x = c$:
$P(c) = (c-c) \cdot Q(c) + R$
$P(c) = 0 \cdot Q(c) + R$
$P(c) = R$
Теорема доказана.

Следствия из теоремы Безу:
Следствие 1. Число $c$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится на двучлен $(x-c)$ без остатка.
Доказательство: Если $c$ — корень, то $P(c)=0$. По теореме Безу остаток $R=P(c)=0$. Если $P(x)$ делится на $(x-c)$ без остатка, то $R=0$. По теореме Безу $P(c)=R=0$, значит $c$ — корень.

Следствие 2. Если многочлен $P_n(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных корней $c_1, c_2, \dots, c_n$, то он может быть представлен в виде произведения:
$P_n(x) = a_n(x-c_1)(x-c_2)\dots(x-c_n)$, где $a_n$ — старший коэффициент.

Следствие 3. Многочлен степени $n$ не может иметь более чем $n$ различных корней.

Ответ: Теорема Безу: остаток от деления $P(x)$ на $(x-c)$ равен $P(c)$. Следствие: $c$ — корень $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится на $(x-c)$ нацело.

4. На примере поясните смысл схемы Горнера.
Схема Горнера — это быстрый алгоритм для вычисления значения многочлена в точке, а также для деления многочлена на двучлен вида $(x-c)$.
Смысл метода заключается в представлении многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ в виде:
$P(x) = (\dots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dots + a_1)x + a_0$
Это позволяет вычислять значение $P(c)$ последовательно, выполняя только $n$ умножений и $n$ сложений.
Коэффициенты $b_k$, получаемые на каждом шаге, являются коэффициентами частного от деления $P(x)$ на $(x-c)$, а последнее полученное число — остатком.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 8$ на двучлен $(x+2)$.
Здесь $c = -2$. Коэффициенты многочлена $P(x)$ (включая член с $x^2$, который равен 0): $a_4=3, a_3=-2, a_2=0, a_1=5, a_0=-8$.
Составим таблицу:
1. В верхней строке записываем коэффициенты исходного многочлена.
2. В левом столбце пишем значение $c$.
3. Старший коэффициент $b_{n-1}$ частного равен старшему коэффициенту $a_n$ делимого. Переносим его в нижнюю строку.
4. Остальные коэффициенты $b_k$ и остаток $R$ вычисляются по рекуррентной формуле: $b_{k-1} = c \cdot b_k + a_k$.


Вычисления:
1. $b_3 = a_4 = 3$.
2. $b_2 = c \cdot b_3 + a_3 = (-2) \cdot 3 + (-2) = -6 - 2 = -8$.
3. $b_1 = c \cdot b_2 + a_2 = (-2) \cdot (-8) + 0 = 16$.
4. $b_0 = c \cdot b_1 + a_1 = (-2) \cdot 16 + 5 = -32 + 5 = -27$.
5. $R = c \cdot b_0 + a_0 = (-2) \cdot (-27) + (-8) = 54 - 8 = 46$.

Числа в нижней строке (кроме последнего) — это коэффициенты частного $Q(x)$. Последнее число — это остаток $R$.
Частное: $Q(x) = 3x^3 - 8x^2 + 16x - 27$.
Остаток: $R = 46$.
Таким образом, $3x^4 - 2x^3 + 5x - 8 = (x+2)(3x^3 - 8x^2 + 16x - 27) + 46$.
Кроме того, по теореме Безу, значение многочлена $P(-2)$ равно остатку, т.е. $P(-2) = 46$.

Ответ: Схема Горнера — это алгоритм, позволяющий быстро найти частное и остаток от деления многочлена на $(x-c)$, а также вычислить значение многочлена в точке $c$.

5. Напишите формулу Виета для многочленов 2-й, 3-й и 4-й степени.
Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

Для многочлена 2-й степени (квадратного уравнения):
$ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$.
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}$

Для многочлена 3-й степени (кубического уравнения):
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$.
$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a} \end{cases}$

Для многочлена 4-й степени:
$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3, x_4$.
$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = \frac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -\frac{d}{a} \\ x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a} \end{cases}$

Ответ: Формулы Виета для приведенных многочленов (где $a=1$) связывают их коэффициенты с симметрическими многочленами от корней: сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, сумма попарных произведений корней — третьему коэффициенту и т.д., чередуя знаки. Для неприведенных многочленов ($a \neq 1$) правая часть каждой формулы делится на $a$.

6. Как используется метод неопределенных коэффициентов? Объясните это на примере.
Метод неопределенных коэффициентов — это способ нахождения коэффициентов выражения, общий вид которого известен. Метод основан на свойстве равенства двух многочленов: два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
Этот метод часто используется для разложения многочленов на множители или для разложения рациональных дробей на простейшие.

Пример: Разложить многочлен $P(x) = x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6$ на множители.
Предположим, что этот многочлен можно разложить на два квадратных трехчлена с целыми коэффициентами (поскольку старший коэффициент и свободный член позволяют это предположить):
$x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$
где $a, b, c, d$ — неопределенные коэффициенты, которые нам нужно найти.
Раскроем скобки в правой части:
$(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd$
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:
$= x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$
Теперь приравняем коэффициенты этого многочлена к коэффициентам исходного многочлена $P(x)$:
$\begin{cases}x^3: & a+c = 3 \\x^2: & b+d+ac = -3 \\x: & ad+bc = -7 \\x^0: & bd = 6\end{cases}$
Теперь нужно решить эту систему уравнений. Из последнего уравнения $bd=6$, можно предположить, что $b$ и $d$ — целые делители числа 6. Попробуем пару $b=2, d=3$.
Подставим в систему:
$\begin{cases}a+c = 3 \\2+3+ac = -3 \implies ac = -8 \\3a+2c = -7\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $c = 3-a$ и подставим во второе:
$a(3-a) = -8 \implies 3a - a^2 = -8 \implies a^2 - 3a - 8 = 0$. Это уравнение не имеет целых корней. Значит, наш выбор $b$ и $d$ был неверным.

Попробуем другую пару, например, $b=-2, d=-3$.
$\begin{cases}a+c = 3 \\-2-3+ac = -3 \implies ac = 2 \\-3a-2c = -7 \implies 3a+2c = 7\end{cases}$
Из первого уравнения $c=3-a$. Подставим во второе:
$a(3-a) = 2 \implies 3a-a^2=2 \implies a^2-3a+2=0$.
Корни этого квадратного уравнения: $a_1=1, a_2=2$.
1. Если $a=1$, то $c = 3-1 = 2$. Проверим по третьему уравнению системы: $3(1)+2(2) = 3+4=7$. Верно.
2. Если $a=2$, то $c = 3-2 = 1$. Проверим по третьему уравнению: $3(2)+2(1) = 6+2=8 \neq 7$. Неверно.

Таким образом, мы нашли коэффициенты: $a=1, b=-2, c=2, d=-3$.
Искомое разложение:
$x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 7x + 6 = (x^2 + x - 2)(x^2 + 2x - 3)$
Каждый из квадратных трехчленов можно разложить дальше:
$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$
$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$
Окончательное разложение: $P(x) = (x-1)^2(x+2)(x+3)$.

Ответ: Метод заключается в записи искомого выражения (например, разложения на множители) с неизвестными (неопределенными) коэффициентами, приравнивании его к исходному выражению и составлении системы уравнений путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.