Номер 5.36, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.36. Выполните деление с остатком первого многочлена на второй:

1) $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$; $x^3 - x + 1$;

2) $x^6 - 2x^2 + x - 1$; $x^5 - x$;

3) $x^4 + x^2 - 2$; $x^2 - 1$;

4) $x^7 - 1$; $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

1) Выполним деление многочлена $P(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$ на многочлен $D(x) = x^3 - x + 1$.
Для этого воспользуемся методом деления столбиком.
1. Делим старший член делимого $x^5$ на старший член делителя $x^3$. Получаем $x^2$ — это первый член частного.
2. Умножаем $x^2$ на делитель $x^3 - x + 1$: $x^2(x^3 - x + 1) = x^5 - x^3 + x^2$.
3. Вычитаем полученный результат из делимого: $(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1) - (x^5 - x^3 + x^2) = -x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1$.
4. Делим старший член нового делимого $-x^4$ на старший член делителя $x^3$. Получаем $-x$ — это второй член частного.
5. Умножаем $-x$ на делитель: $-x(x^3 - x + 1) = -x^4 + x^2 - x$.
6. Вычитаем из $-x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1$: $(-x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1) - (-x^4 + x^2 - x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
7. Делим старший член $2x^3$ на $x^3$. Получаем $2$ — это третий член частного.
8. Умножаем $2$ на делитель: $2(x^3 - x + 1) = 2x^3 - 2x + 2$.
9. Вычитаем из $2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$: $(2x^3 - 3x^2 + 2x - 1) - (2x^3 - 2x + 2) = -3x^2 + 4x - 3$.
Степень полученного многочлена $-3x^2 + 4x - 3$ (равна 2) меньше степени делителя $x^3 - x + 1$ (равна 3), поэтому деление завершено.
Неполное частное: $Q(x) = x^2 - x + 2$.
Остаток: $R(x) = -3x^2 + 4x - 3$.
Ответ: $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = (x^3 - x + 1)(x^2 - x + 2) + (-3x^2 + 4x - 3)$.

2) Выполним деление многочлена $P(x) = x^6 - 2x^2 + x - 1$ на многочлен $D(x) = x^5 - x$.
1. Делим старший член делимого $x^6$ на старший член делителя $x^5$. Получаем $x$ — это первый член частного.
2. Умножаем $x$ на делитель: $x(x^5 - x) = x^6 - x^2$.
3. Вычитаем полученный результат из делимого: $(x^6 - 2x^2 + x - 1) - (x^6 - x^2) = -x^2 + x - 1$.
Степень полученного многочлена $-x^2 + x - 1$ (равна 2) меньше степени делителя $x^5 - x$ (равна 5), следовательно, это остаток.
Неполное частное: $Q(x) = x$.
Остаток: $R(x) = -x^2 + x - 1$.
Ответ: $x^6 - 2x^2 + x - 1 = (x^5 - x) \cdot x + (-x^2 + x - 1)$.

3) Выполним деление многочлена $P(x) = x^4 + x^2 - 2$ на многочлен $D(x) = x^2 - 1$.
Можно выполнить деление столбиком, но в данном случае проще разложить делимое на множители.
Заметим, что делимое можно разложить как квадратный трехчлен относительно $x^2$:
$x^4 + x^2 - 2 = (x^2)^2 + x^2 - 2$.
Введем замену $y = x^2$. Получим выражение $y^2 + y - 2$.
Найдем корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Тогда $y^2 + y - 2 = (y - 1)(y + 2)$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем: $x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)$.
Теперь деление очевидно: $\frac{(x^2 - 1)(x^2 + 2)}{x^2 - 1} = x^2 + 2$.
Неполное частное: $Q(x) = x^2 + 2$.
Остаток: $R(x) = 0$.
Ответ: $x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)$.

4) Выполним деление многочлена $P(x) = x^7 - 1$ на многочлен $D(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Воспользуемся известной формулой разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
При $a=x$, $b=1$ и $n=7$ получаем:
$x^7 - 1 = x^7 - 1^7 = (x-1)(x^6 \cdot 1^0 + x^5 \cdot 1^1 + \dots + x^0 \cdot 1^6) = (x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
Таким образом, многочлен $x^7 - 1$ делится нацело на многочлен $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Результат деления (частное): $\frac{x^7 - 1}{x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} = x - 1$.
Неполное частное: $Q(x) = x - 1$.
Остаток: $R(x) = 0$.
Ответ: $x^7 - 1 = (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1)$.