Номер 5.40, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.40. Напишите многочлен 3-й степени, корни которого равны:

1) $1, 2, -3$

2) $0, -1, 1$

3) $-2, 1, 4$

4) $-1, 2, 3$

1) Чтобы составить многочлен 3-й степени с заданными корнями $x_1, x_2, x_3$, можно воспользоваться общей формулой: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, где $a$ — старший коэффициент, не равный нулю. Для упрощения задачи примем $a=1$.
Даны корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -3$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - (-3)) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$.
Теперь последовательно раскроем скобки. Сначала перемножим первые два двучлена:
$(x - 1)(x - 2) = x \cdot x - x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.
Затем умножим полученный результат на оставшийся двучлен $(x + 3)$:
$(x^2 - 3x + 2)(x + 3) = x^2(x + 3) - 3x(x + 3) + 2(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 2x + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (3x^2 - 3x^2) + (-9x + 2x) + 6 = x^3 - 7x + 6$.
Ответ: $x^3 - 7x + 6$.

2)Воспользуемся общей формулой для многочлена 3-й степени с корнями $x_1, x_2, x_3$: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Примем старший коэффициент $a=1$.
Даны корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - 0)(x - (-1))(x - 1) = x(x + 1)(x - 1)$.
Заметим, что произведение $(x + 1)(x - 1)$ является разностью квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Теперь умножим полученное выражение на $x$:
$P(x) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$.
Ответ: $x^3 - x$.

3)Используем формулу для многочлена 3-й степени с корнями $x_1, x_2, x_3$: $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, приняв $a=1$.
Даны корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 4$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - (-2))(x - 1)(x - 4) = (x + 2)(x - 1)(x - 4)$.
Последовательно раскроем скобки. Сначала перемножим первые два множителя:
$(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$.
Теперь умножим результат на $(x - 4)$:
$(x^2 + x - 2)(x - 4) = x^2(x - 4) + x(x - 4) - 2(x - 4) = x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-4x^2 + x^2) + (-4x - 2x) + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.
Ответ: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$.

4)Составим многочлен 3-й степени по его корням $x_1, x_2, x_3$ по формуле $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, где $a=1$.
Даны корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.
Подставим корни в формулу:
$P(x) = (x - (-1))(x - 2)(x - 3) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$.
Последовательно раскроем скобки. Удобнее сначала перемножить последние два множителя:
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
Теперь умножим результат на $(x + 1)$:
$(x + 1)(x^2 - 5x + 6) = x(x^2 - 5x + 6) + 1(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 5x^2 + 6x + x^2 - 5x + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-5x^2 + x^2) + (6x - 5x) + 6 = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Ответ: $x^3 - 4x^2 + x + 6$.