Номер 5.39, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.39. По схеме Горнера покажите, что числа $ -2 $ и $ 1 $ являются корнями многочлена:

1) $2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 6;$

2) $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12;$

3) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12.$

1) Для многочлена $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 6$ с коэффициентами $2, 7, -2, -13, 6$ применим схему Горнера для проверки корней -2 и 1.

Для корня $c = -2$:

$b_3 = 2$
$b_2 = 7 + (-2) \cdot 2 = 3$
$b_1 = -2 + (-2) \cdot 3 = -8$
$b_0 = -13 + (-2) \cdot (-8) = 3$
Остаток $R = 6 + (-2) \cdot 3 = 0$.
Так как остаток равен 0, число -2 является корнем многочлена.

Для корня $c = 1$:

$b_3 = 2$
$b_2 = 7 + 1 \cdot 2 = 9$
$b_1 = -2 + 1 \cdot 9 = 7$
$b_0 = -13 + 1 \cdot 7 = -6$
Остаток $R = 6 + 1 \cdot (-6) = 0$.
Так как остаток равен 0, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: Схема Горнера показывает, что при делении многочлена на $(x+2)$ и $(x-1)$ остаток равен нулю, следовательно, числа -2 и 1 являются его корнями.

2) Для многочлена $P(x) = (x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12$ сначала приведем его к стандартному виду:

$P(x) = (x^4 + 2x^3 + x^2) + 4x^2 + 4x - 12 = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x - 12$.

Коэффициенты многочлена: $1, 2, 5, 4, -12$. Применим схему Горнера.

Для корня $c = -2$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + (-2) \cdot 1 = 0$
$b_1 = 5 + (-2) \cdot 0 = 5$
$b_0 = 4 + (-2) \cdot 5 = -6$
Остаток $R = -12 + (-2) \cdot (-6) = 0$.
Так как остаток равен 0, число -2 является корнем многочлена.

Для корня $c = 1$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + 1 \cdot 1 = 3$
$b_1 = 5 + 1 \cdot 3 = 8$
$b_0 = 4 + 1 \cdot 8 = 12$
Остаток $R = -12 + 1 \cdot 12 = 0$.
Так как остаток равен 0, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: Схема Горнера показывает, что при делении многочлена на $(x+2)$ и $(x-1)$ остаток равен нулю, следовательно, числа -2 и 1 являются его корнями.

3) Для многочлена $P(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$ сначала приведем его к стандартному виду. Для удобства сделаем замену $y = x^2 + x$:

$(y+1)(y+2) - 12 = y^2 + 3y + 2 - 12 = y^2 + 3y - 10$.

Теперь подставим $x^2+x$ обратно вместо $y$ и раскроем скобки:

$P(x) = (x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) - 10 = (x^4 + 2x^3 + x^2) + (3x^2 + 3x) - 10 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x - 10$.

Коэффициенты многочлена: $1, 2, 4, 3, -10$. Применим схему Горнера.

Для корня $c = -2$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + (-2) \cdot 1 = 0$
$b_1 = 4 + (-2) \cdot 0 = 4$
$b_0 = 3 + (-2) \cdot 4 = -5$
Остаток $R = -10 + (-2) \cdot (-5) = 0$.
Так как остаток равен 0, число -2 является корнем многочлена.

Для корня $c = 1$:

$b_3 = 1$
$b_2 = 2 + 1 \cdot 1 = 3$
$b_1 = 4 + 1 \cdot 3 = 7$
$b_0 = 3 + 1 \cdot 7 = 10$
Остаток $R = -10 + 1 \cdot 10 = 0$.
Так как остаток равен 0, число 1 является корнем многочлена.

Ответ: Схема Горнера показывает, что при делении многочлена на $(x+2)$ и $(x-1)$ остаток равен нулю, следовательно, числа -2 и 1 являются его корнями.