Номер 5.37, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.37. Определите A, B и C так, чтобы:

1) $x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = (x + 1)(x^3 + Ax^2 + Bx + C);$

2) $3x^5 - x^4 - 3x + 1 = (x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + C).$

1) Для нахождения коэффициентов A, B и C в равенстве $x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = (x + 1)(x^3 + Ax^2 + Bx + C)$ раскроем скобки в правой части выражения.

$(x + 1)(x^3 + Ax^2 + Bx + C) = x \cdot (x^3 + Ax^2 + Bx + C) + 1 \cdot (x^3 + Ax^2 + Bx + C)$

$= x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + x^3 + Ax^2 + Bx + C$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$:

$= x^4 + (A + 1)x^3 + (B + A)x^2 + (C + B)x + C$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях исходного равенства. Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов.

$x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = x^4 + (A + 1)x^3 + (B + A)x^2 + (C + B)x + C$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} A + 1 = 2 \\ B + A = -16 \\ C + B = -2 \\ C = 15 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения находим A:

$A = 2 - 1 = 1$

Подставим найденное значение A во второе уравнение, чтобы найти B:

$B + 1 = -16 \implies B = -16 - 1 = -17$

Из четвертого уравнения мы знаем, что $C=15$. Для проверки подставим найденное значение B в третье уравнение:

$C + (-17) = -2 \implies C = -2 + 17 = 15$

Значение C совпадает, следовательно, коэффициенты найдены верно.

Ответ: $A=1, B=-17, C=15$.

2) Для нахождения коэффициентов A, B и C в равенстве $3x^5 - x^4 - 3x + 1 = (x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + C)$ также воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Раскроем скобки в правой части:

$(x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + C) = x^2 \cdot (3x^3 + Ax^2 + Bx + C) + 1 \cdot (3x^3 + Ax^2 + Bx + C)$

$= 3x^5 + Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + 3x^3 + Ax^2 + Bx + C$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$:

$= 3x^5 + Ax^4 + (B + 3)x^3 + (C + A)x^2 + Bx + C$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях. Обратим внимание, что в многочлене в левой части отсутствуют члены с $x^3$ и $x^2$, что означает, что их коэффициенты равны нулю.

$3x^5 - x^4 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 - 3x + 1 = 3x^5 + Ax^4 + (B + 3)x^3 + (C + A)x^2 + Bx + C$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} A = -1 \\ B + 3 = 0 \\ C + A = 0 \\ B = -3 \\ C = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения сразу получаем $A = -1$.

Из второго уравнения находим B:

$B = -3$

Это значение совпадает со значением из четвертого уравнения, что подтверждает его правильность.

Подставим значение A в третье уравнение, чтобы найти C:

$C + (-1) = 0 \implies C = 1$

Это значение совпадает со значением из пятого уравнения. Все коэффициенты найдены верно.

Ответ: $A=-1, B=-3, C=1$.