Номер 5.45, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.45. Найдите целые корни многочлена и разложите его на множители:

1) $x^3 - 4x^2 - x + 4$;

2) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$.

1) $x^3 - 4x^2 - x + 4$

Чтобы найти целые корни многочлена, воспользуемся следствием из теоремы Безу: если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. Свободный член в данном многочлене равен 4.

Найдём все целые делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Теперь проверим, являются ли эти делители корнями многочлена $P(x) = x^3 - 4x^2 - x + 4$, подставляя их вместо $x$:

$P(1) = 1^3 - 4(1)^2 - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.

$P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 - (-1) + 4 = -1 - 4 + 1 + 4 = 0$. Следовательно, $x=-1$ является корнем.

$P(4) = 4^3 - 4(4)^2 - 4 + 4 = 64 - 64 - 4 + 4 = 0$. Следовательно, $x=4$ является корнем.

Мы нашли три целых корня: $1, -1, 4$. Поскольку исходный многочлен третьей степени, он не может иметь более трех корней. Мы нашли все корни.

Теперь разложим многочлен на множители. Если $x_1, x_2, x_3$ — корни многочлена, то его можно представить в виде $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, где $a$ — старший коэффициент (в данном случае $a=1$).

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x-1)(x-(-1))(x-4) = (x-1)(x+1)(x-4)$.

Другой способ разложения — метод группировки:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x^3 - 4x^2) + (-x + 4) = x^2(x - 4) - 1(x - 4) = (x^2 - 1)(x - 4) = (x-1)(x+1)(x-4)$.

Ответ: целые корни: $-1, 1, 4$; разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x-4)$.

2) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$

Свободный член многочлена равен 6. Возможные целые корни являются делителями числа 6.

Целые делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим эти числа, подставляя их в многочлен $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$:

$P(1) = 1^4 + 1^3 - 7(1)^2 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$. Следовательно, $x=1$ — корень.

$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 7(-1)^2 - (-1) + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$. Следовательно, $x=-1$ — корень.

$P(2) = 2^4 + 2^3 - 7(2)^2 - 2 + 6 = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0$. Следовательно, $x=2$ — корень.

$P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 - 7(-3)^2 - (-3) + 6 = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$. Следовательно, $x=-3$ — корень.

Мы нашли четыре целых корня: $1, -1, 2, -3$. Многочлен четвертой степени не может иметь более четырех корней. Таким образом, мы нашли все корни.

Разложим многочлен на множители, используя найденные корни:

$x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = (x-1)(x-(-1))(x-2)(x-(-3)) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.

Проверим правильность разложения, перемножив скобки:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x-2)(x+3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$

$(x^2 - 1)(x^2 + x - 6) = x^2(x^2 + x - 6) - 1(x^2 + x - 6) = x^4 + x^3 - 6x^2 - x^2 - x + 6 = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$.

Разложение выполнено верно.

Ответ: целые корни: $-3, -1, 1, 2$; разложение на множители: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)$.