Номер 5.29, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.29. Докажите, что при каждом четном натуральном $n$ значение многочлена $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 240.

Для доказательства того, что при каждом четном натуральном $n$ значение многочлена $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 240, сначала преобразуем данный многочлен, разложив его на множители.

Разложение многочлена на множители.
$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)$.
Выражение в скобках $n^4 - 5n^2 + 4$ является биквадратным трехчленом. Разложим его на множители, рассматривая как квадратный трехчлен относительно $n^2$: $n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4)$.
Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к обоим множителям, получим: $(n^2 - 1)(n^2 - 4) = (n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.
Следовательно, исходный многочлен можно представить в виде произведения пяти последовательных целых чисел: $n^5 - 5n^3 + 4n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.

Доказательство делимости на 240.
Число 240 можно разложить на взаимно простые множители: $240 = 16 \cdot 3 \cdot 5$.
Чтобы доказать, что выражение делится на 240, достаточно доказать его делимость на 16, 3 и 5 по отдельности.

Делимость на 3 и 5.
Выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ является произведением пяти последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно делится на 3, а среди любых пяти последовательных целых чисел одно делится на 5. Следовательно, их произведение всегда делится на $3$ и на $5$ для любого натурального $n$.

Делимость на 16.
Здесь мы используем условие, что $n$ — четное натуральное число. Представим $n$ в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$).
Подставим это в наше выражение: $(2k-2)(2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2) = 2(k-1) \cdot (2k-1) \cdot 2k \cdot (2k+1) \cdot 2(k+1)$.
Сгруппируем множители 2: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (k-1)k(k+1)(2k-1)(2k+1) = 8 \cdot (k-1)k(k+1)(2k-1)(2k+1)$.
Рассмотрим произведение $(k-1)k(k+1)$ — это произведение трех последовательных целых чисел. В таком произведении всегда есть хотя бы одно четное число, поэтому $(k-1)k(k+1)$ делится на 2.
Значит, все выражение содержит множитель 8 и еще один множитель 2 (из произведения $(k-1)k(k+1)$), то есть оно делится на $8 \cdot 2 = 16$.

Заключение.
Поскольку мы доказали, что при любом четном натуральном $n$ выражение делится на 3, 5 и 16, а эти числа взаимно просты, оно делится и на их произведение $3 \cdot 5 \cdot 16 = 240$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что при каждом четном натуральном $n$ значение многочлена $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 240, доказано.