Номер 5.27, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.27. Разложите на множители:

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15;$

2) $(x - 1)^3 + (2x + 3)^3 = 27x^3 + 8;$

3) $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) - 2;$

4) $x^8 - 15x^4 - 16.$

1) Для разложения многочлена $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$ на множители воспользуемся методом группировки, представив некоторые члены в виде суммы.

$x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = x^3 + x^2 + 8x^2 + 8x + 15x + 15$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) + (8x^2 + 8x) + (15x + 15) = x^2(x+1) + 8x(x+1) + 15(x+1)$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2 + 8x + 15)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 15$. Для этого найдем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна 8. Эти числа — 3 и 5.

$x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$

Таким образом, итоговое разложение имеет вид:

$(x+1)(x+3)(x+5)$

Ответ: $(x+1)(x+3)(x+5)$

2) Заданное равенство $(x - 1)^3 + (2x + 3)^3 = 27x^3 + 8$ преобразуем в выражение, которое нужно разложить на множители, перенеся правую часть налево:

$(x - 1)^3 + (2x + 3)^3 - (27x^3 + 8)$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для каждой пары слагаемых.

Сначала для $(x-1)^3 + (2x+3)^3$:

$a = x-1, b = 2x+3$

$a+b = (x-1) + (2x+3) = 3x+2$

$a^2-ab+b^2 = (x-1)^2 - (x-1)(2x+3) + (2x+3)^2 = (x^2-2x+1) - (2x^2+x-3) + (4x^2+12x+9) = 3x^2+9x+13$

Таким образом, $(x-1)^3+(2x+3)^3 = (3x+2)(3x^2+9x+13)$.

Теперь разложим $27x^3+8$:

$27x^3+8 = (3x)^3 + 2^3 = (3x+2)((3x)^2 - 3x \cdot 2 + 2^2) = (3x+2)(9x^2-6x+4)$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(3x+2)(3x^2+9x+13) - (3x+2)(9x^2-6x+4)$

Вынесем общий множитель $(3x+2)$:

$(3x+2)[(3x^2+9x+13) - (9x^2-6x+4)] = (3x+2)(3x^2+9x+13 - 9x^2+6x-4) = (3x+2)(-6x^2+15x+9)$

Вынесем из второй скобки множитель $-3$:

$-3(3x+2)(2x^2-5x-3)$

Разложим на множители квадратный трехчлен $2x^2-5x-3$. Корни уравнения $2x^2-5x-3=0$ равны $x_1=3$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

$2x^2-5x-3 = 2(x-3)(x+\frac{1}{2}) = (x-3)(2x+1)$.

Итоговое разложение:

$-3(3x+2)(x-3)(2x+1)$

Ответ: $-3(x-3)(2x+1)(3x+2)$

3) Раскроем скобки в выражении $(x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) - 2$ и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 + 2x + x^2 + 2) + (x^3 + x + 2x^2 + 2) - 2 = x^3+x^2+2x+2+x^3+2x^2+x+2-2 = 2x^3 + 3x^2 + 3x + 2$

Для разложения полученного многочлена $2x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ на множители применим метод группировки:

$(2x^3 + 2) + (3x^2 + 3x) = 2(x^3+1) + 3x(x+1)$

Используем формулу суммы кубов $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$:

$2(x+1)(x^2-x+1) + 3x(x+1)$

Вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x+1)[2(x^2-x+1) + 3x] = (x+1)(2x^2-2x+2+3x) = (x+1)(2x^2+x+2)$

Квадратный трехчлен $2x^2+x+2$ не разлагается на множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 < 0$.

Ответ: $(x+1)(2x^2+x+2)$

4) Данное выражение $x^8 - 15x^4 - 16$ является биквадратным относительно $x^4$. Сделаем замену $y = x^4$:

$y^2 - 15y - 16$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -16, а сумма -15. Это числа -16 и 1.

$y^2 - 15y - 16 = (y-16)(y+1)$

Вернемся к переменной $x$:

$(x^4-16)(x^4+1)$

Разложим на множители каждый из полученных двучленов.

Первый множитель $x^4-16$ — это разность квадратов:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2-4)(x^2+4)$

Множитель $x^2-4$ также является разностью квадратов:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

Множитель $x^2+4$ не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Второй множитель $x^4+1$ разложим методом выделения полного квадрата:

$x^4+1 = (x^4+2x^2+1) - 2x^2 = (x^2+1)^2 - (\sqrt{2}x)^2$

Теперь применяем формулу разности квадратов:

$(x^2+1 - \sqrt{2}x)(x^2+1 + \sqrt{2}x) = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Соберем все множители вместе:

$(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$

Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$