Номер 5.20, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. Разложите на множители:

1) $x^2 - 6x - 16;$

2) $x^2 + 12x + 20;$

3) $x^2 - 3x - 10;

4) $x^2 + 4x + 3;$

5) $2x^2 - 9x + 10;$

6) $x^2 + 2x - 80.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 16$, воспользуемся формулой разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала решим уравнение $x^2 - 6x - 16 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-6$, $c=-16$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:

$x^2 - 6x - 16 = 1 \cdot (x - 8)(x - (-2)) = (x - 8)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 2)$.

2) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 12x + 20$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 12x + 20 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=20$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 8}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 12x + 20 = 1 \cdot (x - (-2))(x - (-10)) = (x + 2)(x + 10)$.

Ответ: $(x + 2)(x + 10)$.

3) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 3x - 10$. Для этого решим уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-10$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Подставим корни в формулу разложения:

$x^2 - 3x - 10 = 1 \cdot (x - 5)(x - (-2)) = (x - 5)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 5)(x + 2)$.

4) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 4x + 3$. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=3$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Подставим корни в формулу разложения:

$x^2 + 4x + 3 = 1 \cdot (x - (-1))(x - (-3)) = (x + 1)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 3)$.

5) Разложим на множители трехчлен $2x^2 - 9x + 10$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 9x + 10 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=10$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Подставим коэффициент $a$ и корни в формулу разложения:

$2x^2 - 9x + 10 = 2(x - \frac{5}{2})(x - 2)$.

Для удобства внесем множитель 2 в первую скобку: $2(x - \frac{5}{2}) = 2x - 2 \cdot \frac{5}{2} = 2x - 5$.

Таким образом, разложение имеет вид: $(2x - 5)(x - 2)$.

Ответ: $(2x - 5)(x - 2)$.

6) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 2x - 80$. Решим уравнение $x^2 + 2x - 80 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-80$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$.

Так как $\sqrt{324} = 18$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-2 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

Подставим корни в формулу разложения:

$x^2 + 2x - 80 = 1 \cdot (x - 8)(x - (-10)) = (x - 8)(x + 10)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 10)$.