Работа в группе, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Докажите справедливость формулы (3) при $n = 3, 4, 5$, а формулы (4) – при $n = 1, 2$.

Доказательство справедливости формулы (3) при n = 3, 4, 5

Формула (3) определяет число $N$ диагоналей выпуклого n-угольника: $N = \frac{n(n-3)}{2}$.

Докажем ее справедливость для значений $n=3, 4, 5$ путем прямого подсчета диагоналей.

При n = 3 (треугольник)

Диагональ — это отрезок, соединяющий две не смежные вершины многоугольника. В треугольнике любая пара вершин является смежными (образует сторону). Следовательно, у треугольника нет диагоналей. $N=0$.

Расчет по формуле: $N = \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0$.

Результаты совпадают, значит, формула верна для $n=3$.

При n = 4 (четырехугольник)

В выпуклом четырехугольнике можно провести две диагонали, соединяющие противолежащие вершины. $N=2$.

Расчет по формуле: $N = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$.

Результаты совпадают, значит, формула верна для $n=4$.

При n = 5 (пятиугольник)

Из каждой вершины выпуклого пятиугольника можно провести две диагонали к не смежным вершинам. Всего диагоналей будет $5 \cdot 2 / 2 = 5$ (делим на 2, так как каждая диагональ соединяет две вершины и была посчитана дважды). $N=5$.

Расчет по формуле: $N = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

Результаты совпадают, значит, формула верна для $n=5$.

Ответ: Справедливость формулы (3) для $n = 3, 4, 5$ доказана путем прямого подсчета диагоналей и сравнения с результатом, полученным по формуле.

Доказательство справедливости формулы (4) при n = 1, 2

Формула (4) устанавливает свойство биномиальных коэффициентов (числа сочетаний $C_n^k$): $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$.

Докажем ее справедливость для $n=1, 2$ путем прямых вычислений, используя формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

При n = 1

Проверим равенство $C_1^0 + C_1^1 = 2^1$.

Вычислим левую часть: $C_1^0 = \frac{1!}{0!(1-0)!} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1$. $C_1^1 = \frac{1!}{1!(1-1)!} = \frac{1}{1 \cdot 0!} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1$. Сумма: $C_1^0 + C_1^1 = 1 + 1 = 2$.

Вычислим правую часть: $2^1 = 2$.

Так как $2=2$, формула верна для $n=1$.

При n = 2

Проверим равенство $C_2^0 + C_2^1 + C_2^2 = 2^2$.

Вычислим левую часть: $C_2^0 = \frac{2!}{0!(2-0)!} = \frac{2!}{0! \cdot 2!} = 1$. $C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = \frac{2}{1} = 2$. $C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \cdot 0!} = 1$. Сумма: $C_2^0 + C_2^1 + C_2^2 = 1 + 2 + 1 = 4$.

Вычислим правую часть: $2^2 = 4$.

Так как $4=4$, формула верна для $n=2$.

Ответ: Справедливость формулы (4) для $n = 1, 2$ доказана путем вычисления суммы сочетаний и сравнения с результатом, полученным по формуле.