Номер 5.13, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Зная, что $a + b + c = 0$, докажите тождество:

а) $a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) = 0$;

б) $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$;

в) $a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$;

г) $2(a^4 + b^4 + c^4) = (a^2 + b^2 + c^2)^2$.

а) Докажем тождество $a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) = 0$, используя условие $a + b + c = 0$.
Из условия следует, что:
$a + b = -c$
$a + c = -b$
$b + c = -a$
Подставим эти выражения в левую часть доказываемого тождества:
$a^3 + b^3 + c^3 + 3(-c)(-b)(-a) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$.
Воспользуемся известным тождеством разложения на множители:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$.
Так как по условию $a + b + c = 0$, то правая часть этого тождества равна нулю:
$(0) \cdot (a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0$.
Следовательно, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$, а значит и исходное выражение в левой части равно нулю, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.
Это тождество является прямым следствием тождества $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$.
Так как по условию $a + b + c = 0$, то $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.
Перенеся слагаемое $-3abc$ в правую часть, получаем требуемое тождество:
$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Начнем с условия $a + b + c = 0$. Возведем обе части в квадрат:
$(a + b + c)^2 = 0^2$
$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0$.
Отсюда получим $a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + ac + bc)$.
Возведем последнее равенство в квадрат:
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (-2(ab + ac + bc))^2$
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 4(ab + ac + bc)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях.
Левая часть: $(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Для правой части сначала раскроем $(ab + ac + bc)^2$:
$(ab + ac + bc)^2 = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2(a^2bc + ab^2c + abc^2)$
$= a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a+b+c)$.
Так как $a+b+c=0$, это выражение упрощается до $a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2$.
Значит, правая часть нашего равенства равна $4(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Приравняем преобразованные левую и правую части:
$a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 4(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Вычтем $2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$ из обеих частей:
$a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $2(a^4 + b^4 + c^4) = (a^2 + b^2 + c^2)^2$.
Это тождество тесно связано с тождеством из пункта в).
Рассмотрим правую часть равенства и раскроем скобки по формуле квадрата суммы трех членов:
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2$
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Из тождества, доказанного в пункте в), мы знаем, что при $a+b+c=0$ выполняется равенство:
$a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.
Подставим это выражение в раскрытую формулу квадрата суммы:
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = (a^4 + b^4 + c^4) + (a^4 + b^4 + c^4)$.
$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 2(a^4 + b^4 + c^4)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.