Номер 5.7, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. Выразите многочлены из задачи 5.5 через элементарные симметрические многочлены.

а) $6x^4 - 11x^3y - 18x^2y^2 - 11xy^3 + 6y^4$

• Группируем слагаемые: $6(x^4 + y^4) - 11xy(x^2 + y^2) - 18x^2y^2$
• Подставляем выражения через $\sigma_1, \sigma_2$:
  $6(\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2) - 11\sigma_2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - 18\sigma_2^2$
• Раскрываем скобки: $6\sigma_1^4 - 24\sigma_1^2\sigma_2 + 12\sigma_2^2 - 11\sigma_1^2\sigma_2 + 22\sigma_2^2 - 18\sigma_2^2$
• Итог: $6\sigma_1^4 - 35\sigma_1^2\sigma_2 + 16\sigma_2^2$

б) $2x^4 + 7x^3y + 9x^2y^2 + 7xy^3 + 2y^4$

• Группируем: $2(x^4 + y^4) + 7xy(x^2 + y^2) + 9x^2y^2$
• Подставляем: $2(\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2) + 7\sigma_2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) + 9\sigma_2^2$
• Раскрываем: $2\sigma_1^4 - 8\sigma_1^2\sigma_2 + 4\sigma_2^2 + 7\sigma_1^2\sigma_2 - 14\sigma_2^2 + 9\sigma_2^2$
• Итог: $2\sigma_1^4 - \sigma_1^2\sigma_2 - \sigma_2^2$

в) $18a^4 - 21a^3b - 94a^2b^2 - 21ab^3 + 18b^4$ (здесь $\sigma_1=a+b, \sigma_2=ab$)

• Группируем: $18(a^4 + b^4) - 21ab(a^2 + b^2) - 94a^2b^2$
• Подставляем: $18(\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2) - 21\sigma_2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - 94\sigma_2^2$
• Раскрываем: $18\sigma_1^4 - 72\sigma_1^2\sigma_2 + 36\sigma_2^2 - 21\sigma_1^2\sigma_2 + 42\sigma_2^2 - 94\sigma_2^2$
• Итог: $18\sigma_1^4 - 93\sigma_1^2\sigma_2 - 16\sigma_2^2$

г) $10u^4 - 27u^3v + 25u^2v^2 - 27uv^3 + 10v^4$ (здесь $\sigma_1=u+v, \sigma_2=uv$)

• Группируем: $10(u^4 + v^4) - 27uv(u^2 + v^2) + 25u^2v^2$
• Подставляем: $10(\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2) - 27\sigma_2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) + 25\sigma_2^2$
• Раскрываем: $10\sigma_1^4 - 40\sigma_1^2\sigma_2 + 20\sigma_2^2 - 27\sigma_1^2\sigma_2 + 54\sigma_2^2 + 25\sigma_2^2$
• Итог: $10\sigma_1^4 - 67\sigma_1^2\sigma_2 + 99\sigma_2^2$