Номер 5.7, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. Выразите многочлены из задачи 5.5 через элементарные симметрические многочлены.

Для выражения симметрических многочленов через элементарные симметрические многочлены, введем стандартные обозначения. Пусть $x_1, x_2, \ldots, x_n$ — независимые переменные. Элементарные симметрические многочлены от этих переменных определяются как:

$\sigma_1 = \sum_{1 \le i \le n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n$

$\sigma_2 = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j$

$\sigma_3 = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k$

...

$\sigma_n = x_1 x_2 \ldots x_n$

Также будем использовать обозначение для степенных сумм: $p_k = \sum_{i=1}^n x_i^k$.

Ниже приведены решения для нескольких типичных симметрических многочленов, которые могли быть представлены в задаче 5.5.

a) Выражение для суммы квадратов $\sum_{i=1}^n x_i^2$

Рассмотрим квадрат первого элементарного симметрического многочлена $\sigma_1$:

$\sigma_1^2 = (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j$

В правой части этого равенства первое слагаемое — это искомая сумма квадратов $p_2 = \sum x_i^2$, а второе слагаемое — это удвоенный второй элементарный симметрический многочлен $2\sigma_2$.

Таким образом, мы имеем тождество:

$\sigma_1^2 = p_2 + 2\sigma_2$

Отсюда выражаем $p_2$:

$p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$

Ответ: $\sum_{i=1}^n x_i^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

b) Выражение для суммы кубов $\sum_{i=1}^n x_i^3$

Для нахождения выражения для суммы кубов $p_3 = \sum x_i^3$ воспользуемся тождествами Ньютона. Тождество, связывающее $p_3$ с элементарными симметрическими многочленами, имеет вид:

$p_3 - \sigma_1 p_2 + \sigma_2 p_1 - 3\sigma_3 = 0$

Отсюда $p_3 = \sigma_1 p_2 - \sigma_2 p_1 + 3\sigma_3$.

Мы уже знаем, что $p_1 = \sigma_1$ и $p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$. Подставим эти выражения:

$p_3 = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - \sigma_2 (\sigma_1) + 3\sigma_3$

$p_3 = \sigma_1^3 - 2\sigma_1\sigma_2 - \sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$

$p_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$

Это выражение справедливо для $n \ge 3$. Если $n < 3$, то $\sigma_k = 0$ для $k > n$. Например, для $n=2$, $\sigma_3=0$, и формула дает $p_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$.

Ответ: $\sum_{i=1}^n x_i^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.

c) Выражение для многочлена $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j$

Рассмотрим произведение $\sigma_1 \sigma_2$:

$\sigma_1 \sigma_2 = \left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \left(\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j\right)$

При раскрытии скобок получаются слагаемые двух типов:

1. Слагаемые вида $x_k(x_i x_j)$, где индекс $k$ совпадает с одним из индексов $i$ или $j$. Например, $x_i(x_i x_j) = x_i^2 x_j$. Сумма всех таких слагаемых дает в точности искомый многочлен $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j$.

2. Слагаемые вида $x_k(x_i x_j)$, где все три индекса $i, j, k$ различны. Каждый моном вида $x_i x_j x_k$ (где $i

Таким образом, мы получаем тождество:

$\sigma_1 \sigma_2 = \left(\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j\right) + 3\sigma_3$

Отсюда выражаем искомый многочлен:

$\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$

Ответ: $\sum_{i \neq j} x_i^2 x_j = \sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$.

d) Выражение для суммы квадратов разностей $\sum_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)^2$

Раскроем скобки в каждом слагаемом суммы:

$\sum_{i

Последнее слагаемое равно $-2\sigma_2$.

Рассмотрим первые два слагаемых: $\sum_{ik$, $n-k$ раз) и когда $j=k$ (для $i

Следовательно, $\sum_{i

Таким образом, исходный многочлен равен $(n-1)p_2 - 2\sigma_2$. Используя выражение $p_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$ из пункта (а), получаем:

$(n-1)(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - 2\sigma_2 = (n-1)\sigma_1^2 - 2(n-1)\sigma_2 - 2\sigma_2 = (n-1)\sigma_1^2 - (2n-2+2)\sigma_2 = (n-1)\sigma_1^2 - 2n\sigma_2$

Ответ: $\sum_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)^2 = (n-1)\sigma_1^2 - 2n\sigma_2$.

e) Выражение для многочлена $(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)$ (для $n=3$)

Для случая $n=3$ имеем $\sigma_1 = x_1+x_2+x_3$. Отсюда можно выразить суммы пар переменных:

$x_1+x_2 = \sigma_1 - x_3$

$x_2+x_3 = \sigma_1 - x_1$

$x_3+x_1 = \sigma_1 - x_2$

Подставим эти выражения в исходный многочлен:

$(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1) = (\sigma_1 - x_3)(\sigma_1 - x_1)(\sigma_1 - x_2)$

Рассмотрим многочлен $P(t) = (t-x_1)(t-x_2)(t-x_3)$. По формулам Виета, он равен $P(t) = t^3 - \sigma_1 t^2 + \sigma_2 t - \sigma_3$.

Наше выражение — это значение многочлена $P(t)$ при $t=\sigma_1$:

$P(\sigma_1) = \sigma_1^3 - \sigma_1(\sigma_1^2) + \sigma_2(\sigma_1) - \sigma_3 = \sigma_1^3 - \sigma_1^3 + \sigma_1\sigma_2 - \sigma_3 = \sigma_1\sigma_2 - \sigma_3$.

Ответ: $(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1) = \sigma_1\sigma_2 - \sigma_3$.