Номер 5.4, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.4. Выразите симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены.

а) $4x^2 - 5xy + 4y^2$;

б) $-2x^2 + 7xy - 2y^2$;

в) $x^3 - 2x^2y^2 + y^3$;

г) $2x^4 + 2x^2y^2 + 2y^4 - x - y$.

Для решения задачи введем обозначения для элементарных симметрических многочленов от двух переменных $x$ и $y$:
$\sigma_1 = x + y$
$\sigma_2 = xy$

а) $4x^2 - 5xy + 4y^2$

Сначала сгруппируем слагаемые, чтобы выделить симметрические комбинации:
$4x^2 - 5xy + 4y^2 = 4(x^2 + y^2) - 5xy$.
Сумма квадратов $x^2 + y^2$ выражается через $\sigma_1$ и $\sigma_2$ следующим образом:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.
Теперь подставим это выражение в многочлен:
$4(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) - 5\sigma_2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4\sigma_1^2 - 8\sigma_2 - 5\sigma_2 = 4\sigma_1^2 - 13\sigma_2$.
Ответ: $4\sigma_1^2 - 13\sigma_2$.

б) $-2x^2 + 7xy - 2y^2$

Сгруппируем слагаемые:
$-2x^2 + 7xy - 2y^2 = -2(x^2 + y^2) + 7xy$.
Используя известное выражение $x^2 + y^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$, подставим его в многочлен:
$-2(\sigma_1^2 - 2\sigma_2) + 7\sigma_2$.
Раскроем скобки и упростим:
$-2\sigma_1^2 + 4\sigma_2 + 7\sigma_2 = -2\sigma_1^2 + 11\sigma_2$.
Ответ: $-2\sigma_1^2 + 11\sigma_2$.

в) $x^3 - 2x^2y^2 + y^3$

Сгруппируем слагаемые:
$x^3 - 2x^2y^2 + y^3 = (x^3 + y^3) - 2(xy)^2$.
Выразим сумму кубов $x^3 + y^3$ через элементарные симметрические многочлены:
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = \sigma_1(\sigma_1^2 - 3\sigma_2) = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$.
Слагаемое $2(xy)^2$ равно $2\sigma_2^2$.
Подставим полученные выражения:
$(\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2) - 2\sigma_2^2$.
Ответ: $\sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 - 2\sigma_2^2$.

г) $2x^4 + 2x^2y^2 + 2y^4 - x - y$

Сгруппируем слагаемые:
$2x^4 + 2x^2y^2 + 2y^4 - x - y = 2(x^4 + y^4) + 2(xy)^2 - (x+y)$.
Выразим сумму четвертых степеней $x^4 + y^4$ через $\sigma_1$ и $\sigma_2$:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (\sigma_1^2 - 2\sigma_2)^2 - 2\sigma_2^2 = (\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 4\sigma_2^2) - 2\sigma_2^2 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2$.
Подставим все выражения в исходный многочлен:
$2(\sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2) + 2\sigma_2^2 - \sigma_1$.
Раскроем скобки и упростим:
$2\sigma_1^4 - 8\sigma_1^2\sigma_2 + 4\sigma_2^2 + 2\sigma_2^2 - \sigma_1 = 2\sigma_1^4 - 8\sigma_1^2\sigma_2 + 6\sigma_2^2 - \sigma_1$.
Ответ: $2\sigma_1^4 - 8\sigma_1^2\sigma_2 + 6\sigma_2^2 - \sigma_1$.