Номер 4.134, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.134. Человек после работы может возвращаться домой либо на автобусе, либо на маршрутном такси. Он ездит по-разному: в $\frac{1}{3}$ случаев выбирает автобус, а в $\frac{2}{3}$ – маршрутное такси. Если он едет на маршрутном такси, то в 75% случаев он возвращается домой к шести часам вечера, а если на автобусе, то только в 70% случаев он возвращается к этому времени. Какова вероятность того, что в случайно взятый день он возвращается домой к шести часам?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что человек возвращается домой к шести часам вечера. Это событие зависит от того, какой вид транспорта он выберет. Введем две гипотезы:

$H_1$ – человек едет на автобусе.

$H_2$ – человек едет на маршрутном такси.

Из условия задачи известны вероятности этих гипотез:

$P(H_1) = \frac{1}{3}$

$P(H_2) = \frac{2}{3}$

Также нам даны условные вероятности события $A$ (вернуться к шести часам) при наступлении каждой из гипотез. Переведем проценты в десятичные дроби:

Вероятность вернуться к шести вечера, если он едет на автобусе: $P(A|H_1) = 70\% = 0.7 = \frac{7}{10}$.

Вероятность вернуться к шести вечера, если он едет на маршрутном такси: $P(A|H_2) = 75\% = 0.75 = \frac{3}{4}$.

Вероятность того, что человек вернется домой к шести часам в случайно взятый день, находится по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{10} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Выполним вычисления:

$P(A) = \frac{7}{30} + \frac{6}{12}$

Сократим вторую дробь $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$:

$P(A) = \frac{7}{30} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$P(A) = \frac{7}{30} + \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{7}{30} + \frac{15}{30}$

$P(A) = \frac{7 + 15}{30} = \frac{22}{30}$

Сократим полученную дробь на 2:

$P(A) = \frac{11}{15}$

Ответ: $\frac{11}{15}$