Номер 4.127, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.127. На «бесконечную» шахматную доску, длина стороны каждой клетки которой равна $2a$, уронили монету радиусом $r < a$. Какова вероятность того, что монета целиком окажется на одной клетке?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности, согласно которому искомая вероятность равна отношению площади области благоприятных исходов к площади области всех возможных исходов.

Поскольку шахматная доска бесконечна и состоит из одинаковых клеток, мы можем рассмотреть падение монеты относительно одной произвольной клетки. Пусть эта клетка — квадрат со стороной $2a$. Положение монеты полностью определяется положением ее центра. Областью всех возможных положений центра монеты (в рамках одной клетки, в силу периодичности) является сама эта клетка. Площадь области всех возможных исходов $S_{\text{общ}}$ равна площади клетки:

$S_{\text{общ}} = (2a)^2 = 4a^2$

Благоприятным исходом является событие, когда монета радиусом $r$ полностью оказывается внутри одной клетки. Чтобы это произошло, центр монеты должен находиться на расстоянии не меньшем, чем $r$, от каждой из четырех сторон клетки. Таким образом, область благоприятных для центра монеты положений представляет собой меньший квадрат, концентричный исходной клетке.

Сторона этого внутреннего квадрата (области благоприятных исходов) равна стороне исходной клетки за вычетом отступов по $r$ с каждой из двух сторон: $2a - r - r = 2a - 2r = 2(a-r)$.

Следовательно, площадь области благоприятных исходов $S_{\text{бл}}$ равна:

$S_{\text{бл}} = (2a - 2r)^2 = 4(a-r)^2$

Искомая вероятность $P$ находится как отношение площади благоприятной области к общей площади:

$P = \frac{S_{\text{бл}}}{S_{\text{общ}}} = \frac{4(a-r)^2}{4a^2} = \frac{(a-r)^2}{a^2}$

Это выражение можно также записать в виде:

$P = \left(\frac{a-r}{a}\right)^2 = \left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$

Поскольку по условию $r < a$, вероятность $P$ является корректно определенной величиной в интервале от 0 до 1.

Ответ: $P = \left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$