Номер 4.128, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.128. В древности один хан решил казнить виновного слугу. Но будучи в хорошем настроении он решил дать шанс быть помилованным этому слуге. Хан велел дать слуге два мешочка и 4 альчика, 2 из которых белого цвета и 2 красного цвета. По условию хана виновный слуга должен был разложить 4 альчика в два мешочка и отдать палачу. Затем палач наудачу выбирает один из мешочков и оттуда наудачу извлекает один альчик. Если альчик окажется белого цвета, то слуга будет помилован, а если альчик окажется красного цвета, то он будет казнен. Как должен был слуга распределить данные 4 альчика в двух мешочках, чтобы с наибольшей вероятностью быть помилованным?

Для того чтобы максимизировать свои шансы на помилование, слуга должен найти такое распределение альчиков по двум мешочкам, при котором вероятность вытащить белый альчик будет наибольшей. У слуги есть 2 белых и 2 красных альчика.

Событие, которого добивается слуга, — извлечение белого альчика. Вероятность этого события зависит от двух последовательных случайных выборов: сначала палач наугад выбирает один из двух мешочков (вероятность выбора каждого — $1/2$), а затем наугад извлекает из него один альчик.

Пусть $W$ — событие, состоящее в извлечении белого альчика. Пусть $M_1$ и $M_2$ — события выбора первого и второго мешочка соответственно. Тогда, по формуле полной вероятности, общая вероятность извлечения белого альчика равна:

$P(W) = P(W|M_1) \cdot P(M_1) + P(W|M_2) \cdot P(M_2)$

Поскольку $P(M_1) = P(M_2) = 1/2$, формула упрощается:

$P(W) = \frac{1}{2} (P(W|M_1) + P(W|M_2))$

Здесь $P(W|M_1)$ — это вероятность вытащить белый альчик, если выбран первый мешочек, а $P(W|M_2)$ — если второй. Эти вероятности зависят от того, как слуга распределит альчики. Рассмотрим все возможные варианты распределения, предполагая, что ни один мешочек не может быть пустым.

Вариант 1: В одном мешочке 1 альчик, в другом — 3.

Этот вариант имеет два подварианта в зависимости от цвета единственного альчика.

a) В первый мешочек положен 1 белый альчик. Тогда во втором окажутся 1 белый и 2 красных альчика.
Состав мешочков: (1 Белый) и (1 Белый, 2 Красных).
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P(W|M_1) = \frac{1}{1} = 1$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P(W|M_2) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.
Общая вероятность помилования: $P(W) = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.

б) В первый мешочек положен 1 красный альчик. Тогда во втором окажутся 2 белых и 1 красный альчик.
Состав мешочков: (1 Красный) и (2 Белых, 1 Красный).
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P(W|M_1) = \frac{0}{1} = 0$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P(W|M_2) = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
Общая вероятность помилования: $P(W) = \frac{1}{2} \left(0 + \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}$.

Вариант 2: В обоих мешочках по 2 альчика.

Этот вариант также имеет два различных подварианта.

a) В одном мешочке 2 белых, в другом — 2 красных.
Состав мешочков: (2 Белых) и (2 Красных).
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P(W|M_1) = \frac{2}{2} = 1$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P(W|M_2) = \frac{0}{2} = 0$.
Общая вероятность помилования: $P(W) = \frac{1}{2} (1 + 0) = \frac{1}{2}$.

б) В каждом мешочке по 1 белому и 1 красному.
Состав мешочков: (1 Белый, 1 Красный) и (1 Белый, 1 Красный).
Вероятность вытащить белый из первого мешочка: $P(W|M_1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
Вероятность вытащить белый из второго мешочка: $P(W|M_2) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
Общая вероятность помилования: $P(W) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

Сравнение результатов

Сравним вычисленные вероятности помилования для всех рассмотренных вариантов:
Вариант 1а: $P(W) = 2/3 \approx 0.667$
Вариант 1б: $P(W) = 1/3 \approx 0.333$
Вариант 2а: $P(W) = 1/2 = 0.5$
Вариант 2б: $P(W) = 1/2 = 0.5$

Максимальная вероятность помилования составляет $2/3$ и достигается при распределении, описанном в Варианте 1а.

Ответ: Чтобы с наибольшей вероятностью быть помилованным, слуга должен положить в один мешочек один белый альчик, а в другой мешочек — все остальные альчики (один белый и два красных). При таком распределении вероятность вытащить белый альчик будет равна $2/3$.