Номер 4.123, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.123. На почте есть 10 видов марок. Сколькими способами из них можно выбрать:

1) 8 марок;

2) 8 различных марок?

1) 8 марок

В этом случае нам нужно выбрать 8 марок из 10 имеющихся видов. Поскольку марки одного вида неразличимы и мы можем выбирать несколько марок одного и того же вида, эта задача решается с помощью формулы для числа сочетаний с повторениями. Порядок выбора марок не важен.

Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \binom{n+k-1}{k}$

Здесь $n=10$ (количество видов марок), а $k=8$ (количество марок, которые нужно выбрать).

Подставим наши значения в формулу:

$\bar{C}_{10}^8 = C_{10+8-1}^8 = C_{17}^8 = \binom{17}{8}$

Теперь рассчитаем значение этого выражения:

$\binom{17}{8} = \frac{17!}{8!(17-8)!} = \frac{17!}{8!9!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим дробь. Множитель $16$ в числителе сокращается с множителями $(8 \cdot 2)$ в знаменателе. Множитель $15$ сокращается с $(5 \cdot 3)$. Множитель $12$ делится на $6$, давая $2$. Множитель $14$ делится на $7$, давая $2$.

После этого выражение примет вид:

$\frac{17 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 10 \cdot (2 \cdot 2)}{4}$

Так как $2 \cdot 2 = 4$, мы можем сократить это с оставшейся $4$ в знаменателе. В итоге получаем:

$17 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 10 = 221 \cdot 110 = 24310$

Таким образом, существует 24310 способов выбрать 8 марок, если их виды могут повторяться.

Ответ: 24310.

2) 8 различных марок

В этом случае все 8 марок должны быть различных видов. Это означает, что нам нужно выбрать 8 уникальных видов марок из 10 доступных. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний без повторений.

Формула для числа сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n=10$ (общее количество видов марок), а $k=8$ (количество различных марок для выбора).

Подставляем значения:

$C_{10}^8 = \binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!}$

Воспользуемся свойством сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$, чтобы упростить вычисления:

$C_{10}^8 = C_{10}^{10-8} = C_{10}^2 = \binom{10}{2}$

Рассчитаем значение:

$\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$

Таким образом, существует 45 способов выбрать 8 различных марок из 10 видов.

Ответ: 45.