Номер 4.120, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.120. Два равных по мастерству партнера играют в шахматы. Какой счет наиболее вероятен – $1 : 1$ или $2 : 2$? Результат «ничья» в счет не берется.

Для решения этой задачи рассмотрим вероятности каждого из указанных исходов. По условию, партнеры равны по мастерству, и результат «ничья» не учитывается. Это означает, что для каждой отдельной партии есть только два исхода: победа первого игрока или победа второго. Вероятность победы каждого из игроков в одной партии одинакова и равна $p = 0.5$. Исход каждой партии является независимым событием.

Вероятность счета 1 : 1

Счет 1:1 означает, что всего было сыграно 2 партии, в которых каждый игрок одержал по одной победе. Существует два варианта последовательности результатов, которые приводят к такому счету:

1. Первый игрок выигрывает первую партию, а второй — вторую (ПВ).
2. Второй игрок выигрывает первую партию, а первый — вторую (ВП).

Вероятность каждой такой конкретной последовательности из двух партий равна произведению вероятностей отдельных исходов: $0.5 \times 0.5 = 0.25$.

Поскольку эти два варианта являются взаимоисключающими, общая вероятность счета 1:1 равна сумме их вероятностей:$P(1:1) = 0.25 + 0.25 = 0.5$.

Эту же вероятность можно рассчитать с помощью формулы Бернулли для $k=1$ успеха (победы первого игрока) в $n=2$ испытаниях (партиях):$P_{n}(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$$P(1:1) = C_2^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{2-1} = 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.5$.

Вероятность счета 2 : 2

Счет 2:2 означает, что всего было сыграно 4 партии, и каждый игрок одержал по две победы. Для нахождения этой вероятности снова используем формулу Бернулли, где число испытаний $n=4$, а число успехов (побед первого игрока) $k=2$.

$P(2:2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = C_4^2 \cdot (0.5)^4$.

Количество комбинаций $C_4^2$ показывает, сколькими способами можно выбрать 2 партии, в которых победит первый игрок, из 4 сыгранных:$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Таким образом, существует 6 различных последовательностей побед и поражений, приводящих к счету 2:2. Вероятность каждой такой последовательности равна $(0.5)^4 = 1/16$.

Общая вероятность счета 2:2 составляет:$P(2:2) = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Сравнение вероятностей

Теперь сравним полученные вероятности:

Вероятность счета 1:1 равна $P(1:1) = 0.5$, что можно записать как $\frac{4}{8}$.

Вероятность счета 2:2 равна $P(2:2) = \frac{3}{8}$, что равно $0.375$.

Поскольку $\frac{4}{8} > \frac{3}{8}$, счет 1:1 является более вероятным исходом, чем счет 2:2.

Ответ: Наиболее вероятен счет 1 : 1.