Номер 4.116, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.116. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,8. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Пусть $n$ — искомое число выстрелов. Это задача на определение числа испытаний в схеме Бернулли.Вероятность попадания в мишень (успеха) в одном выстреле (испытании) равна $p = 0,8$.Вероятность промаха (неудачи) равна $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.Наивероятнейшее число попаданий (успехов) $k_0$ в серии из $n$ испытаний определяется двойным неравенством:

$np - q \le k_0 \le np + p$

По условию задачи, наивероятнейшее число попаданий должно быть равно 20, то есть $k_0 = 20$.Подставим известные значения в неравенство:

$n \cdot 0,8 - 0,2 \le 20 \le n \cdot 0,8 + 0,8$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

1) $n \cdot 0,8 - 0,2 \le 20$

2) $20 \le n \cdot 0,8 + 0,8$

Решим первое неравенство:

$0,8n \le 20 + 0,2$

$0,8n \le 20,2$

$n \le \frac{20,2}{0,8}$

$n \le 25,25$

Теперь решим второе неравенство:

$20 - 0,8 \le 0,8n$

$19,2 \le 0,8n$

$n \ge \frac{19,2}{0,8}$

$n \ge 24$

Объединяя решения обоих неравенств, получаем:

$24 \le n \le 25,25$

Так как число выстрелов $n$ должно быть целым числом, возможные значения для $n$ — это 24 и 25.Рассмотрим оба случая:

1. Если $n = 24$, то величина $np + p = 24 \cdot 0,8 + 0,8 = 19,2 + 0,8 = 20$ является целым числом. В этом случае существует два наивероятнейших числа попаданий: $k_0 = np - q = 19,2 - 0,2 = 19$ и $k'_0 = np+p = 20$. Вероятности для 19 и 20 попаданий одинаковы и максимальны.

2. Если $n = 25$, то интервал для $k_0$ будет $[np - q; np + p] = [25 \cdot 0,8 - 0,2; 25 \cdot 0,8 + 0,8] = [20 - 0,2; 20 + 0,8] = [19,8; 20,8]$. Единственное целое число в этом интервале — это 20. Следовательно, при $n=25$ существует единственное наивероятнейшее число попаданий, равное 20.

Формулировка вопроса "чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20" (в единственном числе) подразумевает, что должно быть одно такое число. Это условие выполняется при $n = 25$.

Ответ: нужно сделать 24 или 25 выстрелов. Если требуется, чтобы наивероятнейшее число было единственным, то ответ — 25 выстрелов.