Номер 4.111, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.111. Мишень имеет форму квадрата, в который вписан круг. По мишени наудачу производится 4 независимых выстрела. Какова вероятность получения ровно 3 попаданий в круг?

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрическую вероятность и формулу Бернулли.

1. Нахождение вероятности попадания в круг при одном выстреле.

Вероятность попадания в определенную область при случайном выстреле (геометрическая вероятность) равна отношению площади этой области к общей площади мишени. В данном случае, мишень — это квадрат, а интересующая нас область — вписанный в него круг.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_{кв} = a^2$.

Так как круг вписан в квадрат, его диаметр равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус круга, соответственно, равен $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi r^2$. Подставив значение радиуса, получим:$S_{кр} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$.

Теперь найдем вероятность $p$ того, что один случайный выстрел попадет в круг:

$p = \frac{S_{кр}}{S_{кв}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{a^2} = \frac{\pi}{4}$.

Это вероятность "успеха" в одном испытании.

2. Применение формулы Бернулли.

Производится серия из $n=4$ независимых выстрелов. Нам нужно найти вероятность того, что произойдет ровно $k=3$ "успеха" (попадания в круг).

Это классическая задача на использование формулы Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$,

где:

• $n=4$ — общее число испытаний (выстрелов).
• $k=3$ — число "успешных" испытаний (попаданий в круг).
• $p = \frac{\pi}{4}$ — вероятность "успеха" в одном испытании.
• $q = 1 - p = 1 - \frac{\pi}{4} = \frac{4-\pi}{4}$ — вероятность "неудачи" (промаха по кругу) в одном испытании.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Вычислим число сочетаний $C_4^3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^{4-3} = 4 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4-\pi}{4}\right)^1$.

Упростим выражение:

$P_4(3) = 4 \cdot \frac{\pi^3}{4^3} \cdot \frac{4-\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\pi^3}{64} \cdot \frac{4-\pi}{4} = \frac{4 \cdot \pi^3 \cdot (4-\pi)}{64 \cdot 4} = \frac{\pi^3(4-\pi)}{64}$.

При желании можно вычислить приближенное числовое значение, используя $\pi \approx 3.14159$:

$P_4(3) \approx \frac{(3.14159)^3(4-3.14159)}{64} \approx \frac{31.006 \cdot 0.85841}{64} \approx \frac{26.613}{64} \approx 0.4158$.

Ответ: $P_4(3) = \frac{\pi^3(4-\pi)}{64}$