Номер 4.104, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.104. Монета подброшена 5 раз. Найдите:

1) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной ровно 2 раза;

2) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной по меньшей мере 2 раза;

3) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной не менее, чем 3 раза;

4) наивероятнейшее число выпадания монеты гербовой стороной.

Данная задача описывается схемой Бернулли — серией независимых испытаний с двумя исходами. В нашем случае:

$n=5$ — общее количество подбрасываний монеты (число испытаний).

$p=0.5$ — вероятность выпадения герба («успех») в одном испытании.

$q=1-p=0.5$ — вероятность невыпадения герба, то есть выпадения решки («неудача»).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях «успех» наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Для данной задачи формула принимает вид:

$P_5(k) = C_5^k (0.5)^k (0.5)^{5-k} = C_5^k (0.5)^5 = C_5^k \cdot \frac{1}{32}$.

1) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной ровно 2 раза

Требуется найти вероятность для $k=2$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_5^2$ — количество способов выбрать 2 броска из 5, в которых выпадет герб:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Теперь подставим это значение в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $ \frac{5}{16} $.

2) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной по меньшей мере 2 раза

«По меньшей мере 2 раза» означает, что герб выпадет 2, 3, 4 или 5 раз. Таким образом, нужно найти вероятность события $k \ge 2$.

Это можно сделать, сложив вероятности $P_5(2), P_5(3), P_5(4)$ и $P_5(5)$.

Проще вычислить вероятность противоположного события — «герб выпадет менее 2 раз», то есть 0 или 1 раз ($k < 2$), и вычесть её из 1.

Вероятность того, что герб не выпадет ни разу ($k=0$):

$P_5(0) = C_5^0 \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 1 раз ($k=1$):

$P_5(1) = C_5^1 \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Вероятность противоположного события $P(k < 2)$:

$P(k < 2) = P_5(0) + P_5(1) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.

Искомая вероятность $P(k \ge 2)$ равна:

$P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

Ответ: $ \frac{13}{16} $.

3) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной не менее, чем 3 раза

«Не менее, чем 3 раза» означает, что герб выпадет 3, 4 или 5 раз. Таким образом, нужно найти вероятность события $k \ge 3$.

Сложим вероятности $P_5(3), P_5(4)$ и $P_5(5)$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза ($k=3$):

$P_5(3) = C_5^3 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32}$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза ($k=4$):

$P_5(4) = C_5^4 \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 5 раз ($k=5$):

$P_5(5) = C_5^5 \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.

Искомая вероятность $P(k \ge 3)$:

$P(k \ge 3) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) наивероятнейшее число выпадания монеты гербовой стороной

Чтобы найти наивероятнейшее число, нужно найти значение $k$, для которого вероятность $P_5(k)$ максимальна. Сравним вероятности для всех возможных $k$ от 0 до 5.

$P_5(0) = \frac{1}{32}$

$P_5(1) = \frac{5}{32}$

$P_5(2) = \frac{10}{32}$

$P_5(3) = \frac{10}{32}$

$P_5(4) = \frac{5}{32}$

$P_5(5) = \frac{1}{32}$

Как видно из расчетов, максимальная вероятность $10/32$ достигается при двух значениях $k$: 2 и 3. Следовательно, оба этих исхода являются наивероятнейшими.

Ответ: 2 и 3.