Страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое независимые испытания? Что вы понимаете под относительной частотой наступления события $A$ при $n$ независимых испытаниях?

2. Напишите формулу Бернулли и докажите ее.

3. Как вычисляется вероятность наступления события при $n$-независимых испытаниях хотя бы раз?

4. Как определяется наивероятнейшее число наступления события? Докажите соответствующую формулу.

5. Как вы понимаете смысл закона больших чисел?

1. Что такое независимые испытания? Что вы понимаете под относительной частотой наступления события А при n независимых испытаниях?

Испытания называются независимыми, если вероятность исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие испытания. То есть, если проводится серия испытаний, в каждом из которых может наступить событие $A$ с вероятностью $p=P(A)$, то эта вероятность $p$ остается постоянной для каждого испытания, независимо от результатов предыдущих. Например, многократное подбрасывание монеты является серией независимых испытаний, так как результат каждого броска не влияет на результат следующего.

Относительной частотой наступления события $A$ при $n$ независимых испытаниях называется отношение числа испытаний $m$, в которых событие $A$ фактически наступило, к общему числу проведенных испытаний $n$. Относительная частота обозначается как $W(A)$ и вычисляется по формуле:$W(A) = \frac{m}{n}$Относительная частота является эмпирической (опытной) характеристикой события, в то время как вероятность является теоретической.

Ответ: Независимые испытания — это серия испытаний, в которых исход каждого испытания не влияет на вероятности исходов других. Относительная частота — это отношение числа успешных исходов ($m$) к общему числу испытаний ($n$), то есть $W(A) = m/n$.

2. Напишите формулу Бернулли и докажите ее.

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний событие $A$ наступит ровно $k$ раз. Формула имеет вид:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$где:
• $n$ – общее число независимых испытаний;
• $k$ – число наступлений события $A$;
• $p$ – вероятность наступления события $A$ в одном испытании;
• $q = 1-p$ – вероятность ненаступления события $A$ в одном испытании;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$ (биномиальный коэффициент).

Доказательство:
Рассмотрим один из возможных сложных исходов, при котором событие $A$ наступает $k$ раз, а противоположное ему событие $\bar{A}$ (ненаступление $A$) наступает $n-k$ раз. Например, исход, где сначала $k$ раз подряд наступает $A$, а затем $n-k$ раз подряд наступает $\bar{A}$: $\underbrace{A, A, \dots, A}_{k \text{ раз}} \underbrace{\bar{A}, \bar{A}, \dots, \bar{A}}_{n-k \text{ раз}}$.
Поскольку все испытания независимы, вероятность такого конкретного исхода по теореме умножения вероятностей равна произведению вероятностей каждого события в последовательности:$P(\text{конкретная последовательность}) = \underbrace{p \cdot p \cdot \dots \cdot p}_{k \text{ раз}} \cdot \underbrace{q \cdot q \cdot \dots \cdot q}_{n-k \text{ раз}} = p^k q^{n-k}$.
Однако, событие "A наступило ровно $k$ раз" может произойти не только в такой последовательности. Существует много других последовательностей с $k$ успехами и $n-k$ неудачами. Число таких различных последовательностей равно числу способов, которыми можно выбрать $k$ "мест" для события $A$ из $n$ возможных позиций. Это число равно числу сочетаний из $n$ по $k$, то есть $C_n^k$.
Все эти $C_n^k$ различных последовательностей являются несовместными событиями (не могут произойти одновременно), и вероятность каждой из них, как мы показали, равна $p^k q^{n-k}$.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность $P_n(k)$ равна сумме вероятностей всех этих последовательностей:$P_n(k) = \underbrace{p^k q^{n-k} + p^k q^{n-k} + \dots + p^k q^{n-k}}_{C_n^k \text{ раз}} = C_n^k p^k q^{n-k}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$. Доказательство основано на том, что вероятность одной конкретной последовательности с $k$ успехами равна $p^k q^{n-k}$, а число таких несовместных последовательностей равно $C_n^k$, и их вероятности складываются.

3. Как вычисляется вероятность наступления события при n-независимых испытаниях хотя бы раз?

Вероятность того, что событие $A$ наступит хотя бы один раз в серии из $n$ независимых испытаний, удобно вычислять через вероятность противоположного события.
Пусть событие $B$ – "событие $A$ наступит хотя бы один раз".
Тогда противоположное ему событие $\bar{B}$ – "событие $A$ не наступит ни разу" в $n$ испытаниях.
Вероятность ненаступления события $A$ в одном отдельном испытании равна $q = 1-p$.
Поскольку все $n$ испытаний независимы, вероятность того, что событие $A$ не наступит ни в первом, ни во втором, ..., ни в $n$-м испытании, равна произведению их вероятностей:$P(\bar{B}) = q \cdot q \cdot \dots \cdot q = q^n$.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть $P(B) + P(\bar{B}) = 1$.
Отсюда, искомая вероятность $P(B)$ равна:$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - q^n$.
Таким образом, формула для вычисления вероятности наступления события $A$ хотя бы раз в $n$ независимых испытаниях:$P(A_{\text{хотя бы раз}}) = 1 - q^n = 1 - (1-p)^n$.

Ответ: Вероятность наступления события хотя бы раз вычисляется по формуле $P = 1 - q^n$, где $q$ - вероятность ненаступления события в одном испытании.

4. Как определяется наивероятнейшее число наступления события? Докажите соответствующую формулу.

Наивероятнейшее число наступления события $A$ в $n$ испытаниях, обозначаемое $k_0$, — это такое число $k$ (от 0 до $n$), для которого вероятность $P_n(k)$, вычисляемая по формуле Бернулли, является максимальной.
Это число $k_0$ находится из двойного неравенства:$np - q \le k_0 \le np + p$где $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность успеха, $q=1-p$ — вероятность неудачи.

Доказательство:
Чтобы число $k_0$ было наивероятнейшим, вероятность $P_n(k_0)$ должна быть не меньше вероятностей для соседних значений, то есть должны выполняться два условия:$P_n(k_0) \ge P_n(k_0 - 1)$ и $P_n(k_0) \ge P_n(k_0 + 1)$.
Рассмотрим отношение $\frac{P_n(k)}{P_n(k-1)}$:$\frac{P_n(k)}{P_n(k-1)} = \frac{C_n^k p^k q^{n-k}}{C_n^{k-1} p^{k-1} q^{n-k+1}} = \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}} \cdot \frac{p}{q} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$.
Из первого условия $P_n(k) \ge P_n(k-1)$ следует, что $\frac{P_n(k)}{P_n(k-1)} \ge 1$:$\frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q} \ge 1 \implies (n-k+1)p \ge kq \implies np - kp + p \ge k(1-p) \implies np - kp + p \ge k - kp \implies np+p \ge k$.
Из второго условия $P_n(k) \ge P_n(k+1)$ следует, что $1 \ge \frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}$:$1 \ge \frac{n-(k+1)+1}{k+1} \cdot \frac{p}{q} \implies 1 \ge \frac{n-k}{k+1} \cdot \frac{p}{q} \implies q(k+1) \ge p(n-k) \implies qk + q \ge np - pk \implies k(p+q) \ge np - q \implies k \ge np-q$.
Объединяя оба полученных неравенства для наивероятнейшего числа $k_0$, получаем:$np - q \le k_0 \le np + p$.
Длина этого числового отрезка равна $(np+p) - (np-q) = p+q = 1$. Следовательно, в этот отрезок попадает либо одно целое число $k_0$, либо два, если его границы сами являются целыми числами.

Ответ: Наивероятнейшее число $k_0$ — это целое число, для которого вероятность $P_n(k)$ максимальна. Оно удовлетворяет неравенству $np - q \le k_0 \le np + p$.

5. Как вы понимаете смысл закона больших чисел?

Смысл закона больших чисел заключается в том, что, несмотря на случайность исхода каждого отдельного испытания, при большом количестве испытаний средний результат становится предсказуемым и устойчивым.
В контексте независимых испытаний (схема Бернулли) закон больших чисел (в форме теоремы Бернулли) утверждает, что относительная частота наступления события $A$, то есть $\frac{m}{n}$, при увеличении числа испытаний $n$ стремится к его теоретической вероятности $p$.
Математически это выражается так: для любого, сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$, вероятность того, что абсолютное отклонение относительной частоты от вероятности будет меньше этого числа, стремится к 1 при $n \to \infty$:$\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| < \epsilon\right) = 1$
Это не означает, что относительная частота обязательно будет равна вероятности, но означает, что большие отклонения от вероятности становятся крайне маловероятными при большом числе опытов.
Практический смысл этого закона огромен. Он является мостом между теорией вероятностей и практической статистикой. Именно закон больших чисел позволяет:
• Оценивать неизвестные вероятности на основе частот, наблюдаемых в экспериментах.
• Страховым компаниям прогнозировать количество страховых случаев и рассчитывать тарифы.
• Службам контроля качества определять процент брака в большой партии по малой выборке.
• Социологам делать выводы о мнении всего населения на основе опроса его небольшой части.
По сути, закон больших чисел — это фундаментальный принцип, который объясняет, почему в массе случайные явления проявляют устойчивые закономерности.

Ответ: Смысл закона больших чисел в том, что при увеличении числа испытаний относительная частота события стремится к его теоретической вероятности. Это означает, что средний результат большого числа случайных событий предсказуем, что является основой для практического применения статистики.

4.104. Монета подброшена 5 раз. Найдите:

1) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной ровно 2 раза;

2) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной по меньшей мере 2 раза;

3) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной не менее, чем 3 раза;

4) наивероятнейшее число выпадания монеты гербовой стороной.

Данная задача описывается схемой Бернулли — серией независимых испытаний с двумя исходами. В нашем случае:

$n=5$ — общее количество подбрасываний монеты (число испытаний).

$p=0.5$ — вероятность выпадения герба («успех») в одном испытании.

$q=1-p=0.5$ — вероятность невыпадения герба, то есть выпадения решки («неудача»).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях «успех» наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Для данной задачи формула принимает вид:

$P_5(k) = C_5^k (0.5)^k (0.5)^{5-k} = C_5^k (0.5)^5 = C_5^k \cdot \frac{1}{32}$.

1) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной ровно 2 раза

Требуется найти вероятность для $k=2$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_5^2$ — количество способов выбрать 2 броска из 5, в которых выпадет герб:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Теперь подставим это значение в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $ \frac{5}{16} $.

2) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной по меньшей мере 2 раза

«По меньшей мере 2 раза» означает, что герб выпадет 2, 3, 4 или 5 раз. Таким образом, нужно найти вероятность события $k \ge 2$.

Это можно сделать, сложив вероятности $P_5(2), P_5(3), P_5(4)$ и $P_5(5)$.

Проще вычислить вероятность противоположного события — «герб выпадет менее 2 раз», то есть 0 или 1 раз ($k < 2$), и вычесть её из 1.

Вероятность того, что герб не выпадет ни разу ($k=0$):

$P_5(0) = C_5^0 \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 1 раз ($k=1$):

$P_5(1) = C_5^1 \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Вероятность противоположного события $P(k < 2)$:

$P(k < 2) = P_5(0) + P_5(1) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.

Искомая вероятность $P(k \ge 2)$ равна:

$P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

Ответ: $ \frac{13}{16} $.

3) вероятность того, что монета выпадет гербовой стороной не менее, чем 3 раза

«Не менее, чем 3 раза» означает, что герб выпадет 3, 4 или 5 раз. Таким образом, нужно найти вероятность события $k \ge 3$.

Сложим вероятности $P_5(3), P_5(4)$ и $P_5(5)$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза ($k=3$):

$P_5(3) = C_5^3 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32}$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза ($k=4$):

$P_5(4) = C_5^4 \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Вероятность того, что герб выпадет ровно 5 раз ($k=5$):

$P_5(5) = C_5^5 \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.

Искомая вероятность $P(k \ge 3)$:

$P(k \ge 3) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) наивероятнейшее число выпадания монеты гербовой стороной

Чтобы найти наивероятнейшее число, нужно найти значение $k$, для которого вероятность $P_5(k)$ максимальна. Сравним вероятности для всех возможных $k$ от 0 до 5.

$P_5(0) = \frac{1}{32}$

$P_5(1) = \frac{5}{32}$

$P_5(2) = \frac{10}{32}$

$P_5(3) = \frac{10}{32}$

$P_5(4) = \frac{5}{32}$

$P_5(5) = \frac{1}{32}$

Как видно из расчетов, максимальная вероятность $10/32$ достигается при двух значениях $k$: 2 и 3. Следовательно, оба этих исхода являются наивероятнейшими.

Ответ: 2 и 3.