Страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.94. В первой урне имеется 1 белый и 9 красных шаров, а во второй урне – 1 красный и 5 белых шаров. Из каждой урны наугад вынули по одному шару и отложили их. Оставшиеся шары из обеих урн переложили в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым. Вероятность этого события зависит от того, какие шары были извлечены из первых двух урн.

Введем гипотезы:

$H_1$ – из первой урны вынут белый шар, из второй – белый шар.

$H_2$ – из первой урны вынут белый шар, из второй – красный шар.

$H_3$ – из первой урны вынут красный шар, из второй – белый шар.

$H_4$ – из первой урны вынут красный шар, из второй – красный шар.

Найдем вероятности этих гипотез. Изначально в первой урне 1 белый и 9 красных шаров (всего 10), а во второй – 5 белых и 1 красный (всего 6). Вероятности извлечения шаров из каждой урны:

Из первой урны: $P(Б_1) = \frac{1}{10}$, $P(К_1) = \frac{9}{10}$.

Из второй урны: $P(Б_2) = \frac{5}{6}$, $P(К_2) = \frac{1}{6}$.

Так как извлечение шаров из урн – независимые события, вероятности гипотез равны:

$P(H_1) = P(Б_1) \cdot P(Б_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{60}$

$P(H_2) = P(Б_1) \cdot P(К_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{60}$

$P(H_3) = P(К_1) \cdot P(Б_2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{45}{60}$

$P(H_4) = P(К_1) \cdot P(К_2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{60}$

После извлечения по одному шару из каждой урны, в третью урну перекладывают оставшиеся шары. Общее количество шаров в третьей урне всегда будет $(10-1) + (6-1) = 14$.

Теперь найдем условные вероятности события $A$ для каждой гипотезы.

1. Если произошла гипотеза $H_1$ (извлечены белый и белый), то в первой урне осталось 0 белых и 9 красных, а во второй – 4 белых и 1 красный. В третьей урне будет $0+4=4$ белых и $9+1=10$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_1) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.

2. Если произошла гипотеза $H_2$ (извлечены белый и красный), то в первой урне осталось 0 белых и 9 красных, а во второй – 5 белых и 0 красных. В третьей урне будет $0+5=5$ белых и $9+0=9$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_2) = \frac{5}{14}$.

3. Если произошла гипотеза $H_3$ (извлечены красный и белый), то в первой урне остался 1 белый и 8 красных, а во второй – 4 белых и 1 красный. В третьей урне будет $1+4=5$ белых и $8+1=9$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_3) = \frac{5}{14}$.

4. Если произошла гипотеза $H_4$ (извлечены красный и красный), то в первой урне остался 1 белый и 8 красных, а во второй – 5 белых и 0 красных. В третьей урне будет $1+5=6$ белых и $8+0=8$ красных шаров. Вероятность вынуть белый шар: $P(A|H_4) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.

По формуле полной вероятности, искомая вероятность $P(A)$ равна:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3) + P(H_4)P(A|H_4)$

$P(A) = \frac{5}{60} \cdot \frac{4}{14} + \frac{1}{60} \cdot \frac{5}{14} + \frac{45}{60} \cdot \frac{5}{14} + \frac{9}{60} \cdot \frac{6}{14}$

$P(A) = \frac{1}{60 \cdot 14} (5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 45 \cdot 5 + 9 \cdot 6)$

$P(A) = \frac{1}{840} (20 + 5 + 225 + 54) = \frac{304}{840}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:

$P(A) = \frac{304 \div 8}{840 \div 8} = \frac{38}{105}$

Ответ: искомая вероятность равна $\frac{38}{105}$.

4.95. В магазин поступили 70% трикотажных изделий, изготовленных на первой фабрике, и 30% трикотажных изделий, изготовленных на второй фабрике. Известно, что 10% изделий, изготовленных на первой фабрике, и 20% изделий, изготовленных на второй фабрике, оказались бракованными. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине трикотажное изделие окажется бракованным.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Вероятность того, что случайно купленное изделие окажется бракованным, можно найти, сложив вероятности двух несовместных событий: «изделие с первой фабрики и оно бракованное» и «изделие со второй фабрики и оно бракованное».

Введем обозначения для событий:

$H_1$ – событие, состоящее в том, что выбранное изделие изготовлено на первой фабрике.

$H_2$ – событие, состоящее в том, что выбранное изделие изготовлено на второй фабрике.

$A$ – событие, состоящее в том, что выбранное изделие является бракованным.

По условию задачи нам даны следующие вероятности:

Вероятность того, что изделие с первой фабрики: $P(H_1) = 70\% = 0.7$

Вероятность того, что изделие со второй фабрики: $P(H_2) = 30\% = 0.3$

Также даны условные вероятности появления брака для каждой фабрики:

Вероятность того, что изделие с первой фабрики окажется бракованным: $P(A|H_1) = 10\% = 0.1$

Вероятность того, что изделие со второй фабрики окажется бракованным: $P(A|H_2) = 20\% = 0.2$

Формула полной вероятности для события $A$ имеет вид:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставим числовые значения в формулу:

$P(A) = 0.7 \cdot 0.1 + 0.3 \cdot 0.2$

Выполним вычисления:

$P(A) = 0.07 + 0.06$

$P(A) = 0.13$

Следовательно, вероятность того, что случайно купленное в магазине трикотажное изделие окажется бракованным, равна 0.13.

Ответ: 0.13

4.96. На сборку поступают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,4% брака, второй – 0,3%, третий – 0,2%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 100, со второго – 200, а с третьего – 250 деталей.

Для нахождения вероятности попадания на сборку бракованной детали необходимо определить общее количество деталей и общее ожидаемое количество бракованных деталей, после чего найти их отношение.

1. Найдем общее количество деталей, поступивших на сборку со всех трех автоматов:

$N_{общ} = 100 (\text{с первого}) + 200 (\text{со второго}) + 250 (\text{с третьего}) = 550$ деталей.

2. Теперь вычислим ожидаемое количество бракованных деталей от каждого автомата, переведя проценты в десятичные дроби:

• $0,4\% = 0,004$
• $0,3\% = 0,003$
• $0,2\% = 0,002$

Ожидаемое количество брака от первого автомата:

$N_{б1} = 100 \cdot 0,004 = 0,4$ детали.

Ожидаемое количество брака от второго автомата:

$N_{б2} = 200 \cdot 0,003 = 0,6$ детали.

Ожидаемое количество брака от третьего автомата:

$N_{б3} = 250 \cdot 0,002 = 0,5$ детали.

3. Суммарное ожидаемое количество бракованных деталей со всех трех автоматов составляет:

$N_{б\_общ} = N_{б1} + N_{б2} + N_{б3} = 0,4 + 0,6 + 0,5 = 1,5$ детали.

4. Вероятность того, что случайно выбранная из общей партии деталь окажется бракованной, равна отношению общего ожидаемого числа бракованных деталей к общему числу всех деталей:

$P(\text{брак}) = \frac{N_{б\_общ}}{N_{общ}} = \frac{1,5}{550}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$P(\text{брак}) = \frac{15}{5500}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P(\text{брак}) = \frac{15 \div 5}{5500 \div 5} = \frac{3}{1100}$

Это значение также можно представить в виде десятичной дроби: $3 \div 1100 \approx 0,002727...$

Ответ: $\frac{3}{1100}$

4.97. На одной из 10 монет, внешне одинаковых, с обеих сторон изображен герб, а другие нормальные. Наудачу выбрали одну из этих монет и подбросили 10 раз. Во всех случаях, т.е. 10 раз, монета упала гербовой стороной. Какова вероятность того, что подбрасывали монету с двумя гербовыми сторонами?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности и формулой Байеса. Введем следующие гипотезы и события:

Гипотеза $H_1$: была выбрана монета с двумя гербами.

Гипотеза $H_2$: была выбрана нормальная монета (с гербом и решкой).

Событие $A$: при 10 подбрасываниях монета 10 раз упала гербовой стороной.

Нам необходимо найти вероятность $P(H_1|A)$, то есть вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами, при условии, что произошло событие $A$.

Согласно условию, всего 10 монет, из которых одна – с двумя гербами, а остальные 9 – нормальные. Вероятности выбора каждой из гипотез (априорные вероятности) равны:

$P(H_1) = \frac{1}{10}$

$P(H_2) = \frac{9}{10}$

Теперь найдем условные вероятности события $A$ для каждой из гипотез.

Если была выбрана монета с двумя гербами (гипотеза $H_1$), то при каждом броске герб выпадает с вероятностью 1. Следовательно, вероятность того, что в 10 бросках выпадет 10 гербов, равна:

$P(A|H_1) = 1^{10} = 1$

Если была выбрана нормальная монета (гипотеза $H_2$), то вероятность выпадения герба при одном броске равна $\frac{1}{2}$. Вероятность того, что в 10 независимых бросках выпадет 10 гербов, равна:

$P(A|H_2) = (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$

Теперь найдем полную вероятность события $A$ по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставим вычисленные значения:

$P(A) = \frac{1}{10} \cdot 1 + \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{10} + \frac{9}{10240} = \frac{1024}{10240} + \frac{9}{10240} = \frac{1033}{10240}$

Наконец, по формуле Байеса найдем искомую вероятность $P(H_1|A)$:

$P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}$

$P(H_1|A) = \frac{\frac{1}{10} \cdot 1}{\frac{1033}{10240}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{10240}{1033} = \frac{1024}{1033}$

Ответ: Вероятность того, что подбрасывали монету с двумя гербовыми сторонами, равна $\frac{1024}{1033}$.

4.98. В мешочек с двумя альчиками положили альчик красного цвета, а затем из него наудачу вынули один альчик. Какова вероятность того, что этот альчик имеет красный цвет? Считается, что события «цвет альчиков, первоначально находившихся в мешочке, одинаковый» равновозможные.

Для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что извлеченный из мешочка альчик имеет красный цвет.

Сначала определим гипотезы о первоначальном составе альчиков в мешочке. Пусть К обозначает красный альчик, а Н — альчик другого (не красного) цвета. Существуют три возможные гипотезы о составе двух первоначальных альчиков:
$H_1$ — оба альчика красные (КК).
$H_2$ — оба альчика не красные (НН).
$H_3$ — один альчик красный, а другой не красный (КН).

Из условия задачи известно, что события «цвет альчиков... одинаковый» и «цвет альчиков... разный» (подразумевается) равновозможны.
Событие «цвет одинаковый» соответствует объединению гипотез $H_1$ и $H_2$.
Событие «цвет разный» соответствует гипотезе $H_3$.
Поскольку эти два события равновозможны и в сумме составляют полную группу событий, вероятность каждого из них равна $1/2$.
Таким образом, $P(H_3) = \frac{1}{2}$.
И $P(H_1 \cup H_2) = P(H_1) + P(H_2) = \frac{1}{2}$.
В задаче нет информации, которая позволила бы отдать предпочтение гипотезе $H_1$ перед $H_2$. Поэтому естественно предположить, что они равновероятны: $P(H_1) = P(H_2)$.
Отсюда получаем: $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}$.
Итак, вероятности гипотез: $P(H_1) = \frac{1}{4}$, $P(H_2) = \frac{1}{4}$, $P(H_3) = \frac{1}{2}$.

Далее в мешочек положили альчик красного цвета. Теперь в мешочке 3 альчика. Найдем условные вероятности события $A$ (вынули красный альчик) для каждой гипотезы:
1. Если была верна гипотеза $H_1$ (исходно КК), то в мешочке стало 3 красных альчика (ККК). Вероятность извлечь красный альчик равна $P(A|H_1) = \frac{3}{3} = 1$.
2. Если была верна гипотеза $H_2$ (исходно НН), то в мешочке стал 1 красный и 2 некрасных альчика (ННК). Вероятность извлечь красный альчик равна $P(A|H_2) = \frac{1}{3}$.
3. Если была верна гипотеза $H_3$ (исходно КН), то в мешочке стало 2 красных и 1 некрасный альчик (КНК). Вероятность извлечь красный альчик равна $P(A|H_3) = \frac{2}{3}$.

Теперь по формуле полной вероятности найдем искомую вероятность события $A$:
$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$
Подставляем вычисленные значения:
$P(A) = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{2}{6}$
Приводя дроби к общему знаменателю 12, получаем:
$P(A) = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3+1+4}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4.99. Два равных по мастерству шахматиста играют в шахматы. Какое из событий более вероятно:

1) победа в двух партиях из четырех или в трех партиях из шести;

2) победа по крайней мере в двух партиях из четырех или по крайней мере в трех партиях из шести?

Для решения задачи предположим, что исходы партий являются независимыми событиями. Поскольку шахматисты равны по мастерству, будем считать, что для одного из них вероятность победы в каждой отдельной партии равна $p=1/2$, а вероятность не-победы (поражения или ничьей) равна $q=1-p=1/2$.

В этом случае мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Вероятность того, что в $n$ партиях будет одержано ровно $k$ побед, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_n^k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{n-k} = C_n^k \frac{1}{2^n}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

1) победа в двух партиях из четырех или в трех партиях из шести

Найдем вероятность победы ровно в двух партиях из четырех ($n=4, k=2$):

$P_A = P_4(2) = C_4^2 \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{16} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Найдем вероятность победы ровно в трех партиях из шести ($n=6, k=3$):

$P_B = P_6(3) = C_6^3 \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

Теперь сравним эти две вероятности. Приведем дробь $\frac{3}{8}$ к знаменателю 16: $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$.

Поскольку $\frac{6}{16} > \frac{5}{16}$, то есть $P_A > P_B$, событие «победа в двух партиях из четырех» более вероятно.

Ответ: Более вероятно победить в двух партиях из четырех.

2) победа по крайней мере в двух партиях из четырех или по крайней мере в трех партиях из шести

Найдем вероятность победы по крайней мере в двух партиях из четырех. Это означает, что число побед $k$ может быть 2, 3 или 4. Проще найти вероятность противоположного события (0 или 1 победа) и вычесть ее из единицы.

$P_C = P_4(k \ge 2) = 1 - (P_4(0) + P_4(1))$

$P_4(0) = C_4^0 \frac{1}{2^4} = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

$P_4(1) = C_4^1 \frac{1}{2^4} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$

$P_C = 1 - (\frac{1}{16} + \frac{4}{16}) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$

Найдем вероятность победы по крайней мере в трех партиях из шести. Это означает, что число побед $k$ может быть 3, 4, 5 или 6.

$P_D = P_6(k \ge 3) = P_6(3) + P_6(4) + P_6(5) + P_6(6)$

$P_6(3) = C_6^3 \frac{1}{2^6} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$

$P_6(4) = C_6^4 \frac{1}{2^6} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$

$P_6(5) = C_6^5 \frac{1}{2^6} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$

$P_6(6) = C_6^6 \frac{1}{2^6} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$

$P_D = \frac{20}{64} + \frac{15}{64} + \frac{6}{64} + \frac{1}{64} = \frac{20+15+6+1}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}$

Сравним вероятности $P_C$ и $P_D$. Приведем дробь $\frac{11}{16}$ к знаменателю 32: $\frac{11}{16} = \frac{22}{32}$.

Поскольку $\frac{22}{32} > \frac{21}{32}$, то есть $P_C > P_D$, событие «победа по крайней мере в двух партиях из четырех» более вероятно.

Ответ: Более вероятно победить по крайней мере в двух партиях из четырех.

4.100. В цехе работают 20 станков. Из них 10 станков выпущено заводом №1, 6 станков – заводом №2 и 4 станка – заводом №3. Вероятности того, что детали окажутся качественными для этих станков, равны 0,9; 0,8 и 0,7 соответственно. Какой процент качественных деталей выпускается в данном цехе?

Для того чтобы определить, какой процент качественных деталей выпускается в данном цехе, необходимо найти общую вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется качественной. Эту задачу можно решить с помощью формулы полной вероятности.

Пусть событие $A$ — это то, что произведенная деталь является качественной. Мы имеем три группы станков, которые можно рассматривать как три несовместные гипотезы:

$H_1$: деталь изготовлена на станке завода №1.

$H_2$: деталь изготовлена на станке завода №2.

$H_3$: деталь изготовлена на станке завода №3.

Общее число станков в цехе равно 20. Исходя из предположения, что каждый станок производит одинаковое количество деталей, мы можем рассчитать вероятности этих гипотез.

Вероятность того, что деталь произведена на станке завода №1:

$P(H_1) = \frac{10}{20} = 0,5$

Вероятность того, что деталь произведена на станке завода №2:

$P(H_2) = \frac{6}{20} = 0,3$

Вероятность того, что деталь произведена на станке завода №3:

$P(H_3) = \frac{4}{20} = 0,2$

В условии задачи даны условные вероятности того, что деталь окажется качественной, для каждой группы станков:

Вероятность качественной детали со станка завода №1: $P(A|H_1) = 0,9$

Вероятность качественной детали со станка завода №2: $P(A|H_2) = 0,8$

Вероятность качественной детали со станка завода №3: $P(A|H_3) = 0,7$

Теперь применим формулу полной вероятности для нахождения вероятности события $A$:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим числовые значения в формулу:

$P(A) = (0,5 \cdot 0,9) + (0,3 \cdot 0,8) + (0,2 \cdot 0,7)$

$P(A) = 0,45 + 0,24 + 0,14$

$P(A) = 0,83$

Вероятность того, что произведенная в цехе деталь окажется качественной, составляет 0,83. Чтобы перевести это значение в проценты, умножим его на 100%.

$0,83 \cdot 100\% = 83\%$

Ответ: В данном цехе выпускается 83% качественных деталей.