Номер 4.100, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.100. В цехе работают 20 станков. Из них 10 станков выпущено заводом №1, 6 станков – заводом №2 и 4 станка – заводом №3. Вероятности того, что детали окажутся качественными для этих станков, равны 0,9; 0,8 и 0,7 соответственно. Какой процент качественных деталей выпускается в данном цехе?

Для того чтобы определить, какой процент качественных деталей выпускается в данном цехе, необходимо найти общую вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется качественной. Эту задачу можно решить с помощью формулы полной вероятности.

Пусть событие $A$ — это то, что произведенная деталь является качественной. Мы имеем три группы станков, которые можно рассматривать как три несовместные гипотезы:

$H_1$: деталь изготовлена на станке завода №1.

$H_2$: деталь изготовлена на станке завода №2.

$H_3$: деталь изготовлена на станке завода №3.

Общее число станков в цехе равно 20. Исходя из предположения, что каждый станок производит одинаковое количество деталей, мы можем рассчитать вероятности этих гипотез.

Вероятность того, что деталь произведена на станке завода №1:

$P(H_1) = \frac{10}{20} = 0,5$

Вероятность того, что деталь произведена на станке завода №2:

$P(H_2) = \frac{6}{20} = 0,3$

Вероятность того, что деталь произведена на станке завода №3:

$P(H_3) = \frac{4}{20} = 0,2$

В условии задачи даны условные вероятности того, что деталь окажется качественной, для каждой группы станков:

Вероятность качественной детали со станка завода №1: $P(A|H_1) = 0,9$

Вероятность качественной детали со станка завода №2: $P(A|H_2) = 0,8$

Вероятность качественной детали со станка завода №3: $P(A|H_3) = 0,7$

Теперь применим формулу полной вероятности для нахождения вероятности события $A$:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим числовые значения в формулу:

$P(A) = (0,5 \cdot 0,9) + (0,3 \cdot 0,8) + (0,2 \cdot 0,7)$

$P(A) = 0,45 + 0,24 + 0,14$

$P(A) = 0,83$

Вероятность того, что произведенная в цехе деталь окажется качественной, составляет 0,83. Чтобы перевести это значение в проценты, умножим его на 100%.

$0,83 \cdot 100\% = 83\%$

Ответ: В данном цехе выпускается 83% качественных деталей.