Номер 4.93, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.93. После того как трое стрелков произвели по одному выстрелу по мишени, оказалось, что в мишени имеются 2 пробоины.

Вероятности поражения мишени каждым стрелком равны 0,6; 0,5 и 0,4 соответственно. Какова вероятность того, что в мишень попал и третий стрелок?

Для решения этой задачи используется формула условной вероятности (формула Байеса). Давайте определим основные события и их вероятности.

Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$ — события, означающие попадание в мишень первым, вторым и третьим стрелком соответственно. По условию задачи, вероятности этих событий равны:

$P(A_1) = 0,6$

$P(A_2) = 0,5$

$P(A_3) = 0,4$

События, противоположные этим (промахи), обозначим как $\bar{A}_1$, $\bar{A}_2$, $\bar{A}_3$. Их вероятности равны:

$P(\bar{A}_1) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,6 = 0,4$

$P(\bar{A}_2) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,5 = 0,5$

$P(\bar{A}_3) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,4 = 0,6$

Пусть событие $B$ заключается в том, что в мишени оказалось ровно 2 пробоины. Это может произойти в трех взаимоисключающих случаях (гипотезах):

1. Первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся. Вероятность этого исхода, учитывая независимость выстрелов:

$P(A_1 \cap A_2 \cap \bar{A}_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\bar{A}_3) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,6 = 0,18$

2. Первый и третий стрелки попали, а второй промахнулся:

$P(A_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot P(A_3) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,4 = 0,12$

3. Второй и третий стрелки попали, а первый промахнулся:

$P(\bar{A}_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(\bar{A}_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,4 = 0,08$

Полная вероятность события $B$ (в мишени ровно 2 пробоины) равна сумме вероятностей этих трех несовместных исходов:

$P(B) = 0,18 + 0,12 + 0,08 = 0,38$

Нас интересует вероятность того, что третий стрелок попал, при условии, что в мишени ровно 2 пробоины. Это условная вероятность $P(A_3 | B)$. По определению условной вероятности:

$P(A_3 | B) = \frac{P(A_3 \cap B)}{P(B)}$

Событие $A_3 \cap B$ означает, что "третий стрелок попал, и в мишени ровно 2 пробоины". Это событие объединяет второй и третий из рассмотренных выше случаев. Его вероятность равна:

$P(A_3 \cap B) = P(A_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) + P(\bar{A}_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0,12 + 0,08 = 0,20$

Теперь мы можем найти искомую условную вероятность:

$P(A_3 | B) = \frac{0,20}{0,38} = \frac{20}{38} = \frac{10}{19}$

Ответ: $\frac{10}{19}$.