Номер 4.92, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.92. В каждом из трех мешочков имеются по 4 красных и 6 белых альчиков. Из первого мешочка наугад взят альчик и переложен во второй мешочек. Затем из второго мешочка наугад взят альчик и переложен в третий мешочек. Наконец, из третьего мешочка наугад извлекли один альчик. Какова вероятность того, что этот альчик окажется красного цвета?

Для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что из третьего мешочка извлекли красный альчик. Вероятность этого события зависит от того, какой альчик (красный или белый) был переложен в третий мешочек из второго.

Введем гипотезы:
$H_{2К}$ — из второго мешочка в третий переложили красный альчик.
$H_{2Б}$ — из второго мешочка в третий переложили белый альчик.

Тогда искомая вероятность $P(A)$ находится по формуле полной вероятности:$P(A) = P(A|H_{2К}) \cdot P(H_{2К}) + P(A|H_{2Б}) \cdot P(H_{2Б})$

Найдем условные вероятности $P(A|H_{2К})$ и $P(A|H_{2Б})$. Изначально в третьем мешочке было 4 красных и 6 белых альчиков (всего 10).
Если в него добавили красный альчик (гипотеза $H_{2К}$), то в мешочке стало 5 красных и 6 белых (всего 11). Тогда вероятность извлечь красный: $P(A|H_{2К}) = \frac{5}{11}$.
Если в него добавили белый альчик (гипотеза $H_{2Б}$), то в мешочке стало 4 красных и 7 белых (всего 11). Тогда вероятность извлечь красный: $P(A|H_{2Б}) = \frac{4}{11}$.

Теперь нужно найти вероятности гипотез $P(H_{2К})$ и $P(H_{2Б})$. Эти вероятности, в свою очередь, зависят от того, какой альчик переложили из первого мешочка во второй. Обозначим эти события как $H_{1К}$ (переложили красный) и $H_{1Б}$ (переложили белый). Изначально в первом мешочке 4 красных и 6 белых, поэтому $P(H_{1К}) = \frac{4}{10}$ и $P(H_{1Б}) = \frac{6}{10}$.

Найдем $P(H_{2К})$ по формуле полной вероятности:$P(H_{2К}) = P(H_{2К}|H_{1К}) \cdot P(H_{1К}) + P(H_{2К}|H_{1Б}) \cdot P(H_{1Б})$
$P(H_{2К}|H_{1К})$ — это вероятность вынуть красный из второго мешочка, если в него добавили красный (состав стал 5 красных, 6 белых). $P(H_{2К}|H_{1К}) = \frac{5}{11}$.
$P(H_{2К}|H_{1Б})$ — это вероятность вынуть красный из второго мешочка, если в него добавили белый (состав стал 4 красных, 7 белых). $P(H_{2К}|H_{1Б}) = \frac{4}{11}$.
Подставляя значения, получаем:$P(H_{2К}) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} + \frac{4}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{20}{110} + \frac{24}{110} = \frac{44}{110} = \frac{4}{10}$.

Вероятность гипотезы $H_{2Б}$ можно найти как $P(H_{2Б}) = 1 - P(H_{2К}) = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10}$.

Наконец, подставим все найденные значения в основную формулу для $P(A)$:$P(A) = P(A|H_{2К}) \cdot P(H_{2К}) + P(A|H_{2Б}) \cdot P(H_{2Б}) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} + \frac{4}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{20}{110} + \frac{24}{110} = \frac{44}{110} = \frac{4}{10} = 0.4$.

Ответ: $0.4$