Номер 4.91, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.91. В электрической сети три элемента соединены последовательно. Вероятности того, что эти элементы выйдут из строя, равны 0,1; 0,15 и 0,2 соответственно. Какова вероятность того, что в электрической сети будет ток?

В задаче рассматривается электрическая цепь с тремя последовательно соединенными элементами. Ток в такой цепи будет протекать только в том случае, если все три элемента исправны и находятся в рабочем состоянии. Если хотя бы один из элементов выйдет из строя, вся цепь будет разомкнута, и ток прекратится.

Пусть событие $A$ заключается в том, что в электрической сети будет ток. Это событие произойдет тогда и только тогда, когда одновременно работают первый, второй и третий элементы.

Обозначим вероятности выхода из строя для каждого элемента:
$P(F_1) = 0,1$ — вероятность отказа первого элемента.
$P(F_2) = 0,15$ — вероятность отказа второго элемента.
$P(F_3) = 0,2$ — вероятность отказа третьего элемента.

Событие, что элемент работает, является противоположным событию, что он вышел из строя. Вероятность противоположного события равна $1$ минус вероятность исходного события. Найдем вероятности безотказной работы для каждого элемента:

Вероятность того, что первый элемент работает ($W_1$):
$P(W_1) = 1 - P(F_1) = 1 - 0,1 = 0,9$.

Вероятность того, что второй элемент работает ($W_2$):
$P(W_2) = 1 - P(F_2) = 1 - 0,15 = 0,85$.

Вероятность того, что третий элемент работает ($W_3$):
$P(W_3) = 1 - P(F_3) = 1 - 0,2 = 0,8$.

Поскольку отказы элементов являются независимыми событиями, то и их безотказная работа также является независимыми событиями. Вероятность того, что все три независимых события произойдут одновременно, равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Вероятность того, что в сети будет ток, равна вероятности того, что все три элемента работают:
$P(A) = P(W_1 \text{ и } W_2 \text{ и } W_3) = P(W_1) \cdot P(W_2) \cdot P(W_3)$.

Подставим вычисленные значения и найдем искомую вероятность:
$P(A) = 0,9 \cdot 0,85 \cdot 0,8 = 0,765 \cdot 0,8 = 0,612$.

Ответ: 0,612.